Теорема Дирихле о единицах

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Теорема Дирихле о единицах — теорема алгебраической теории чисел, описывающая ранг подгруппы обратимых элементов (также именуемых единицами) кольца алгебраических целых числового поля .

Формулировка[править | править код]

Пусть — числовое поле (т. е., конечное расширение ), а — его кольцо целых чисел. Тогда ранг группы обратимых элементов равен , где — число различных вложений в поле вещественных чисел , а — число пар комплексно-сопряжённых различных вложений в , не являющихся чисто вещественными.

Замечания[править | править код]

  • Другими словами, в кольце поля степени существуют такие единицы , что каждая единица однозначно представляется в виде
где - целые числа, а - некоторый корень из 1, содержащийся в
  • Единицы , существование которых устанавливает теорема Дирихле, называются основным единицами кольца .
  • Если , где — корень неприводимого многочлена , имеющего корни , то вложение - вещественное тогда и только тогда, когда - действительный корень уравнения .

Схема доказательства[править | править код]

По условию есть вещественных изоморфизмов и комплексных . Для доказательства элементы поля изображаются в двух пространствах: линейном и логарифмическом .

- пространство строк вида , где с покомпонентным сложением и умножением. Определим как , вложение инъективно. В образ поля представляет собой некоторую дискретную решётку - множество элементов вида , где , а - некоторый базис решётки.

Пространство устроено так: , , , . - переводит умножение в сложение. Если - норма , то .

Далее рассматривается группа единиц (обратимых элементов) поля . Множество - группа по умножению. Если , то , т.е. множество ограничено, значит оно конечно, значит состоит из корней из 1 и является подгруппой . Если же - произвольная единица, то , , . Это уравнение определяет гиперплоскость размерности . Образ - решётка в , так как - группа по сложению и дискретна как непрерывный образ дискретной решётки .

Таким образом, любая единица , - корень из 1, . Остается доказать, что ранг равен именно , или что - полная решётка в . Решётка в пространстве полна тогда и только тогда в пространстве есть ограниченное множество, сдвиги которого на все векторы решётки полностью заполняют все пространство. Для доказательства используется лемма Минковского о выпуклом теле. В качестве тела леммы берется множество в . Его объём равен . Применение леммы Минковского дает следующее следствие:

Если объём основного параллелепипеда, натянутого на базисные векторы решётки , равен и числа таковы, что , то в решётке есть ненулевой вектор такой, что .

Для любого , имеем . Обозначим - гиперплоскость, параллельная . Пусть - произвольна, а . Если - достаточно велико, то , и значит по следствию выше из леммы Минковского существует такое, что , то есть , .

Обозначим для произвольного вышеупомянутое множество как . Ясно, что все множества ограничены. , т.е. получается сдвигом на вектор

В существует только конечное число попарно неассоциированных чисел , нормы которых по модулю меньше , то есть если , то для какой-то единицы . Поскольку покрывают все , а , значит сдвиги ограниченного множества на все векторы покроют все . Значит сдвиги ограниченного множества на все векторы покроют все , что доказывает теорему.

Вариации и обобщение[править | править код]

  • Поскольку для расширения степени n выполнено , то , причём равенство имеет место тогда и только тогда, когда все вложения в чисто вещественные.
  • Группа единиц поля исчерпывается корнями из 1 тогда и только тогда, когда , т.е. для и для — мнимого квадратичного расширения. Во всех остальных случаях всегда имеется как минимум одна основная единица.
  • Существование нетривиальных целых решений уравнения Пелля выводится из этой теоремы, применённой к — квадратичному расширению .

Литература[править | править код]

  1. В. И. Арнольд. Цепные дроби. — М.: МЦНМО, 2001. — С. 35. — ISBN 5-94057-014-3.
  • Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — М.: Мир, 1987. — С. 237.
  • Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. — М.: Наука, главная редакция физико-математической литературы, 1985. — С. 131.