Теорема Дирихле о единицах

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Дирихле о единицах — теорема алгебраической теории чисел, описывающая ранг подгруппы обратимых элементов (также именуемых единицами) кольца алгебраических целых числового поля .

Формулировка[править | править вики-текст]

Пусть — числовое поле (т. е., конечное расширение ), а — его кольцо целых чисел. Тогда ранг группы обратимых элементов равен , где — число различных вложений в поле вещественных чисел , а — число пар комплексно-сопряжённых различных вложений в , не являющихся чисто вещественными.


Следствия и обобщение[править | править вики-текст]

В частности, поскольку для расширения степени n выполнено , то , причём равенство имеет место тогда и только тогда, когда все вложения в чисто вещественные.

Существование нетривиальных целых решений уравнения Пелля выводится из этой теоремы, применённой к — квадратичному расширению .

Случай группы обратимых элементов максимального ранга связан[1] с многомерными цепными дробями.

Литература[править | править вики-текст]

  1. В. И. Арнольд. Цепные дроби. — М.: МЦНМО, 2001. — С. 35. — ISBN 5-94057-014-3.
  • Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — М.: Мир, 1987. — С. 237.