Теорема Новикова о компактном слое

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Новикова о компактном слое: Двумерное слоение на трехмерном многообразии с нестягиваемой универсальной накрывающей имеет компактный слой.

Теорема Новикова о компактном слое на сфере [править | править вики-текст]

Теорема: Гладкое двумерное слоение на сфере имеет компактный слой, диффеоморфный тору и ограничивающий область со слоением Риба.

Доказана С. П. Новиковым в 1964 г. До этого Шарль Эресманн высказал гипотезу, что любое гладкое двумерное слоение на имеет компактный слой, что было справедливо для всех известных тогда примеров. Так, слоение Риба имеет слой, являющийся тором .

Теорема Новикова о компактном слое на произвольном [править | править вики-текст]

В 1965 году была доказана теорема о компактном слое для произвольного многообразия :

Теорема: Пусть на замкнутом многообразии с заданным на нем гладким двумерным слоением выполняется одно из условий:

  1. фундаментальная группа конечна,
  2. вторая гомотопическая группа ,
  3. существует замкнутая трансверсаль, гомотопная нулю,
  4. существует слой такой, что отображение , индуцированное включением, имеет нетривиальное ядро.

Тогда имеет компактный слой рода . Более того, во всех случаях, кроме случая 2, слоение включает рибовскую компоненту, а в случае 2 либо включает рибовскую компоненту, либо все слои замкнуты и диффеоморфны сферам или проективным плоскостям .

В терминах накрытий эта теорема формулируется следующим образом:

Гладкое двумерное слоение на замкнутом многообразии с нестягиваемой универсальной накрывающей имеет компактный слой.

Обобщение на случай негладкого слоения на [править | править вики-текст]

В 1965 году теорема Новикова была доказана для слоений класса .

В 1970 году было дано доказательство для класса [1],

в 1975 — для слоений класса [2].

Наконец, в 1982 году В. Солодов доказал теорему Новикова для слоений класса . Этот результат тем более интересен, что еще в 1974 году П. Швейцер в построил примеры -слоений на сферах , , не имеющих компактных слоев[3].

Обобщение теоремы Новикова на сфере на слоения с особенностями[править | править вики-текст]

В 1973 году Вагнер рассмотрел слоения коразмерности 1 с морсовскими особенностями (т. е. локально устроенными как множества поверхностей уровня функции Морса) на сфере . Морсовские особенности бывают «сферическими» и «коническими».

Теорема[4]: Пусть слоение имеет s сферических особенностей и с конических.

  • Если , то и у такого слоения общего положения все неособые слои диффеоморфны сфере .
  • Если , слоение может не иметь компактных слоев.

Литература[править | править вики-текст]

  • С. П. Новиков. Топология слоений//Тр. Моск. мат. о-ва. — 1965. — Т.14. — с.249—278.
  • И. Тамура. Топология слоений — М: Мир, 1979.
  • D. Sullivan, Cycles for the dynamical study of foliated manifolds and complex manifolds, Invent. Math., 36 (1976), p. 225-255.[1]


Примечания[править | править вики-текст]

  1. Rozenberg H., Roussarie R. Reeb foliations.— Ann. of Math., 1970, v. 91, p. 1—24.
  2. Plante J. F. Foliations with measure preserving holonomy.— Ann. of Math., 1975, v. 102, №2, p. 327—361.
  3. Schweitzer P. A. Counterexample to the Seifert conjecture and opening leaves of foliations.— Ann. of Math., 1974, v. 100, № 2, p. 386—400.
  4. Wagneur E. A generalization of Novikov's theorem to foliations with isolated generic singularities — «Topology and its Appl., Proc. Conf. Mem. Univ. Newfoundland., St. John's, Canada, 1973, v.12, New York, 1975, p.189—198