Теорема о замкнутом графике

Теорема о замкнутом графике — важный результат функционального анализа, устанавливающий критерий ограниченности линейного оператора между банаховыми пространствами.

Формулировки

• Линейный оператор $T:\,X\to Y$ между банаховыми пространствами X и Y ограничен тогда и только тогда, когда его график $\Gamma _{T}:=\{(x,Tx)\in X\times Y:x\in D(T)\}$ замкнут в пространстве $X\times Y$ и оператор определен на всём пространстве X (т.е. $D(T)=X$).
• Линейный оператор $T:\,X\to Y$ между банаховыми пространствами X и Y ограничен тогда и только тогда, когда для любой последовательности $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset X$, такой что $x_{n}\to x$ и $Tx_{n}\to y$, выполняется $y=Tx$.

Замечания

• Первая из приведённых формулировок сохраняет силу и при некотором ослаблении требований; а именно, достаточно потребовать, чтобы X было бочечным линейным топологическим пространством, а Y — пространством Фреше.

Следствия

Из теоремы о замкнутом графике следует теорема Хеллингера — Тёплица.

Ссылки

• Доказательство теоремы о замкнутом графике (англ.)