Углы Эйлера

Углы Эйлера.

Анимация поочерёдного поворота сферы на углы Эйлера

Углы Эйлера — углы, описывающие поворот абсолютно твердого тела в трёхмерном евклидовом пространстве. Введены Леонардом Эйлером.

В сравнении с углами Эйлера кватернионы позволяют комбинировать вращения, а также избежать проблемы, связанной с невозможностью поворота вокруг оси независимо от совершённого вращения по другим осям (см. Кватернионы и вращение пространства).

Определение

Углы Эйлера определяют три поворота системы, которые позволяют привести любое положение системы к текущему. Обозначим начальную систему координат как $(x,y,z)$, конечную как $(X,Y,Z)$. Пересечение координатных плоскостей $xy$ и $XY$ называется линией узлов $N$.

• Угол $\alpha$ между осью $x$ и линией узлов — угол прецессии.
• Угол $\beta$ между осями $z$ и $Z$ — угол нутации.
• Угол $\gamma$ между линией узлов и осью $X$ — угол собственного вращения.

Повороты системы на эти углы называются прецессия, нутация и поворот на собственный угол (вращение). Такие повороты некоммутативны, и конечное положение системы зависит от порядка, в котором совершаются повороты. В случае углов Эйлера производится серия из трёх поворотов:

1. На угол $\alpha$ вокруг оси $z$. При этом ось $x$ переходит в $N$.
2. На угол $\beta$ вокруг оси $N$. При этом ось $z$ переходит в $Z$.
3. На угол $\gamma$ вокруг оси $Z$. При этом ось $N$ переходит в $X$.

Иногда такую последовательность называют 3,1,3 (или Z,X,Z), но такое обозначение может приводить к двусмысленности.

Формулы

Углы Эйлера описывают последовательную комбинацию пассивных поворотов вокруг осей вращающейся системы координат. Матрицы этих поворотов имеют вид

$R_{Z}(\alpha )=\left({\begin{array}{ccc}\cos(\alpha )&-\sin(\alpha )&0\\\sin(\alpha )&\cos(\alpha )&0\\0&0&1\\\end{array}}\right),\quad R_{X}(\beta )=\left({\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&\cos(\beta )&-\sin(\beta )\\0&\sin(\beta )&\cos(\beta )\\\end{array}}\right),\quad R_{Z}(\gamma )=\left({\begin{array}{ccc}\cos(\gamma )&-\sin(\gamma )&0\\\sin(\gamma )&\cos(\gamma )&0\\0&0&1\\\end{array}}\right).$

Последовательное выполнение этих поворотов даст матрицу

$R=R_{Z}(\gamma )\cdot R_{X}(\beta )\cdot R_{Z}(\alpha )=\left({\begin{array}{ccc}\cos(\alpha )\cos(\gamma )-\cos(\beta )\sin(\alpha )\sin(\gamma )&-\cos(\gamma )\sin(\alpha )-\cos(\alpha )\cos(\beta )\sin(\gamma )&\sin(\beta )\sin(\gamma )\\\cos(\beta )\cos(\gamma )\sin(\alpha )+\cos(\alpha )\sin(\gamma )&\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\sin(\alpha )\sin(\gamma )&-\cos(\gamma )\sin(\beta )\\\sin(\alpha )\sin(\beta )&\cos(\alpha )\sin(\beta )&\cos(\beta )\\\end{array}}\right).$

Произведение $R\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$, где $x,y,z$ — координаты точки до поворота, даст координаты точки в подвижной системе координат после поворота. До и после поворота координаты точки в неподвижной системе координат неизменны.

См. также

• Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера
• Крен, тангаж и рыскание — угловые движения летательного аппарата или другого транспортного средства
• Матрица поворота
• Шесть степеней свободы
• Складывание рамок

Литература

• Берёзкин Е. Н. Курс теоретической механики — 2-е изд., пер. — М.: Изд-во МГУ. 1974. — 641 с.
• Журавлёв В. Ф. Основы теоретической механики — 2-е изд. — М.: Физматлит, 2001. С. 23.
• Уиттекер Э. Аналитическая динамика С.25