Формула Брахмагупты

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Фо́рмула Брахмагу́пты выражает площадь вписанного в окружность четырёхугольника как функцию длин его сторон.

Если вписанный четырёхугольник имеет длины сторон и полупериметр , то его площадь выражается формулой:


Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

  • Формула Брахмагупты обобщает формулу Герона для площади треугольника: достаточно считать, что длина одной из сторон равна нулю (например, ).
  • На случай произвольных четырёхугольников формула Брахмагупты может быть обобщена следующим образом:
где есть полусумма противоположных углов четырёхугольника. (Какую именно пару противоположных углов взять, роли не играет, так как если полусумма одной пары противоположных углов равна , то полусумма двух других углов будет , и )
Иногда эту более общую формулу записывают так:
где и  — длины диагоналей четырёхугольника.
  • Роббинс (англ.) доказал, что для любого вписанного многоугольника с сторонами величина является корнем некоторого многочлена , коэффициенты которого в свою очередь являются многочленами от длин сторон. Он нашёл эти многочлены для и . Другими авторами установлено, что многочлен можно выбрать так, чтобы его старший коэффициент был равен единице, а степень была равна , если и , если . Здесь
где биномиальные коэффициенты. Для многоугольников с небольшим числом сторон имеем , , , (последовательность A000531 в OEIS) и , , , (последовательность A107373 в OEIS).
  • Если в формуле Брахмагупты выразить полупериметр через полусумму всех сторон данного четырехугольника, возвести обе части в квадрат, умножить на -16, раскрыть скобки и привести подобные, то она примет вид:
  • Правая часть совпадает с разложением определителя, приведенного ниже, если его умножить на -1. Поэтому можно написать, что[1]

Популярная литература[править | править вики-текст]

Научная литература[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]