Формула Брахмагупты

Фо́рмула Брахмагу́пты — обобщение формулы Герона, выражает площадь вписанного в окружность четырёхугольника как функцию длин его сторон.

Формулировка

Если вписанный четырёхугольник имеет длины сторон $a,b,c,d$ и полупериметр $p={\frac {a+b+c+d}{2}}$, то его площадь $S$ выражается формулой:

$S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}.$

Доказательство

Иллюстрация к доказательству

Площадь вписанного в окружность четырехугольника равна сумме площадей $\triangle ABD$ и $\triangle BDC$

$S={\frac {1}{2}}ab\sin A+{\frac {1}{2}}cd\sin C.$

Так как $ABCD$ является вписанным четырехугольником, то $\angle DAB=180^{\circ }-\angle DCB.$ Следовательно, $\sin A=\sin C$:

$S={\frac {1}{2}}ab\sin A+{\frac {1}{2}}cd\sin A$

$S^{2}={\frac {1}{4}}\sin ^{2}A(ab+cd)^{2}$

$4S^{2}=(1-\cos ^{2}A)(ab+cd)^{2}$

$4S^{2}=(ab+cd)^{2}-\cos ^{2}A(ab+cd)^{2}.$

Записав теорему косинусов для стороны $CB$ в $\triangle ACB$ и $\triangle BDC,$ получаем:

$a^{2}+b^{2}-2ab\cos A=c^{2}+d^{2}-2cd\cos C.$

Используем $\cos C=-\cos A$ ($A$ и $C$ противолежащие), а затем выносим за скобки $2\cos A$:

$2\cos A(ab+cd)=a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}.$

Подставим полученное в полученную ранее формулу площади:

$4S^{2}=(ab+cd)^{2}-{\frac {1}{4}}(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2}$

$16S^{2}=4(ab+cd)^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2},$

Применим формулу $x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)$:

$(2(ab+cd)+a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})(2(ab+cd)-a^{2}-b^{2}+c^{2}+d^{2})$

$=((a+b)^{2}-(c-d)^{2})((c+d)^{2}-(a-b)^{2})$

$=(a+b+c-d)(a+b+d-c)(a+c+d-b)(b+c+d-a).$

Так как полупериметр $p={\frac {a+b+c+d}{2}},$

$16S^{2}=16(p-a)(p-b)(p-c)(p-d).$

Извлекая квадратный корень, получаем:

$S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}.$

Вариации и обобщения

• Формула Брахмагупты обобщает формулу Герона для площади треугольника: достаточно считать, что длина одной из сторон равна нулю (например, $d=0$).
• На случай произвольных четырёхугольников формула Брахмагупты может быть обобщена следующим образом:

  $S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos ^{2}\theta }},$

где $\theta$ есть полусумма противоположных углов четырёхугольника. (Какую именно пару противоположных углов взять, роли не играет, так как если полусумма одной пары противоположных углов равна $\theta$, то полусумма двух других углов будет $180^{\circ }-\theta$, и $\cos ^{2}(180^{\circ }-\theta )=\cos ^{2}\theta .$)

Иногда эту более общую формулу записывают так:

$S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-\textstyle {1 \over 4}(ac+bd+uv)(ac+bd-uv)}}$

где $u$ и $v$ — длины диагоналей четырёхугольника.

• Если четырёхугольник описанный, тогда $p=a+c=b+d$, и обобщённая формула Брахмагупты даёт

  $S={\sqrt {abcd}}\sin \theta$.

В частности, для вписанно-описанных четырёхугольников

$S={\sqrt {abcd}}$.

• Роббинс доказал, что для любого вписанного многоугольника с $n$ сторонами величина $(4S)^{2}$ является корнем некоторого многочлена $P$, коэффициенты которого в свою очередь являются многочленами от длин сторон. Он нашёл эти многочлены для $n=5$ и $n=6$. Другими авторами установлено, что многочлен $P$ можно выбрать так, чтобы его старший коэффициент был равен единице, а степень $N=N(n)$ была равна $\Delta _{k}$, если $n=2k+1$ и $2\Delta _{k}$, если $n=2k+2$. Здесь

  $\Delta _{k}={\frac {2k+1}{2}}{\binom {2k}{k}}-2^{2k-1}=\sum _{j=0}^{k-1}(k-j){\binom {2k+1}{j}},$

где ${\tbinom {k}{j}}={\tfrac {k!}{j!(k-j)!}}$ — биномиальные коэффициенты. Для многоугольников с небольшим числом сторон имеем $\Delta _{1}=1$, $\Delta _{2}=7$, $\Delta _{3}=38$, $\Delta _{4}=187,\dots$ (последовательность A000531 в OEIS) и $N(4)=2$, $N(5)=7$, $N(6)=14$, $N(7)=38,\dots$ (последовательность A107373 в OEIS).

• Если в формуле Брахмагупты выразить полупериметр через полусумму всех сторон данного четырехугольника, возвести обе части в квадрат, умножить на -16, раскрыть скобки и привести подобные, то она примет вид:

$-16S^{2}=a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}-2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}d^{2}+c^{2}d^{2})-8abcd$

• Правая часть совпадает с разложением определителя, приведенного ниже, если его умножить на -1. Поэтому можно написать, что

$16S^{2}=-{\begin{vmatrix}a&b&c&-d\\b&a&-d&c\\c&-d&a&b\\-d&c&b&a\end{vmatrix}}$

• Есть модификация формулы Брахмагупты для геометрии Лобачевского

См. также

• Брахмагупта
• Теорема Брахмагупты
• Формула Герона

Популярная литература

• А. Ю. Давидов. Элементарная геометрия в объеме гимназического курса. — 1863.
• В. В. Прасолов. Формула Брахмагупты // Математика в школе. — 1991. — № 5.
• Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. П. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — Т. 14. — (Библиотека математического кружка).

Научная литература

• В. В. Варфоломеев. Вписанные многоугольники и полиномы Герона // Мат. сборник.. — 2003. — Т. 194, № 3. — С. 3—24.
• Стариков В. Н. Заметки по геометрии // Научный поиск: гуманитарные и социально-экономические науки: сборник научных трудов / Гл. ред. Романова И. В.. — Чебоксары: ЦДИП «INet», 2014. — Вып. 1. — С. 37-39.
• M. Fedorchuk, I. Pak. Rigidity and polynomial invariants of convex polytopes (англ.) // :en:Duke Mathematical Journal|Duke Math. J. : journal. — 2005. — Vol. 129, no. 2. — P. 371—404. — doi:10.1215/S0012-7094-05-12926-X.