Формула Брахмагупты

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Фо́рмула Брахмагу́пты выражает площадь вписанного в окружность четырёхугольника как функцию длин его сторон.

Если вписанный четырёхугольник имеет длины сторон a, b, c, d и полупериметр p=\frac{a+b+c+d}{2}, то его площадь S выражается формулой:

S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}.


Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

  • Формула Брахмагупты обобщает формулу Герона для площади треугольника: достаточно считать, что длина одной из сторон равна нулю (например, d=0).
  • На случай произвольных четырёхугольников формула Брахмагупты может быть обобщена следующим образом:
    S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos^2\theta},
где \theta есть полусумма противоположных углов четырёхугольника. (Какую именно пару противоположных углов взять, роли не играет, так как если полусумма одной пары противоположных углов равна \theta, то полусумма двух других углов будет 180^\circ -\theta, и \cos^2(180^\circ -\theta)=\cos^2\theta.)
Иногда эту более общую формулу записывают так:
S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-\textstyle{1\over4}(ac+bd+uv)(ac+bd-uv)}\,
где u и v — длины диагоналей четырёхугольника.
  • Роббинс (англ.) доказал, что для любого вписанного многоугольника с n сторонами величина (4S)^2 является корнем некоторого многочлена P, коэффициенты которого в свою очередь являются многочленами от длин сторон. Он нашёл эти многочлены для n=5 и n=6. Другими авторами установлено, что многочлен P можно выбрать так, чтобы его старший коэффициент был равен единице, а степень N=N(n) была равна \Delta_k, если n=2k+1 и 2\Delta_k, если n=2k+2. Здесь
    \Delta_k=\frac{2k+1}{2}\binom{2k}{k} - 2^{2k-1}= \sum_{j=0}^{k-1}(k-j)\binom{2k+1}{j},
где \tbinom{k}{j}=\tfrac{k!}{j!(k-j)!}биномиальные коэффициенты. Для многоугольников с небольшим числом сторон имеем \Delta_1=1, \Delta_2=7, \Delta_3=38, \Delta_4=187, \dots (последовательность A000531 в OEIS) и N(4)=2, N(5)=7, N(6)=14, N(7)=38, \dots (последовательность A107373 в OEIS).
  • Если в формуле Брахмагупты выразить полупериметр через полусумму всех сторон данного четырехугольника, возвести обе части в квадрат, умножить на -16, раскрыть скобки и привести подобные, то она примет вид:
-16S^2=a^4+b^4+c^4+d^4-2(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2+a^2d^2+b^2d^2+c^2d^2)-8abcd
  • Правая часть совпадает с разложением определителя, приведенного ниже, если его умножить на -1. Поэтому можно написать, что[1]
16 S^2 = - \begin{vmatrix}
a & b & c & -d \\
b & a & -d & c \\
c & -d & a & b \\
-d & c & b & a
\end{vmatrix}

Популярная литература[править | править вики-текст]

Научная литература[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]