Формула Муавра

Формула Муавра для комплексного числа $z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$ утверждает, что:

$z^{n}=r^{n}(\cos \varphi +i\sin \varphi )^{n}=r^{n}(\cos n\varphi +i\sin n\varphi )$

для любого целого числа $n$.

Названа в честь английского математика Абрахама де Муавра, в трудах которого была приведена формула, эквивалентная приведённой (1707, далее 1722 и 1740 годы), в современной символике она опубликована Эйлером.

Извлечение корней

Корни пятой степени из единицы (вершины пятиугольника)

Аналогичная формула применима также и при вычислении корней n-й степени из ненулевого комплексного числа:

$z^{1/n}={\big [}r{\big (}\cos(\varphi +2\pi k)+i\sin(\varphi +2\pi k){\big )}{\big ]}^{1/n}=r^{1/n}\left(\cos {\frac {\varphi +2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {\varphi +2\pi k}{n}}\right),$

где $k=0,1,\dots ,n-1$.

Из этой формулы следует, что корни $n$-й степени из ненулевого комплексного числа всегда существуют, и их количество равно $n$. На комплексной плоскости, как видно из той же формулы, все эти корни являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса ${\sqrt[{n}]{r}}$ с центром в нуле.

Связь с формулой Эйлера

Исторически формула Муавра была доказана ранее формулы Эйлера:

$e^{ix}=\cos x+i\sin x,$

однако немедленно следует из неё.

Для любого целого $n$ верно

$(e^{ix})^{n}=e^{inx}.$

По формуле Эйлера левая часть равна $(\cos x+i\sin x)^{n}$, в то время как правая равна

$e^{inx}=\cos nx+i\sin nx.$

Литература

• Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1972. — Т. III.
• Энциклопедия элементарной математики (в 5 томах). — М.: Физматгиз, 1951. — Т. 1. — С. 160—168. — 448 с.
• Ahlfors Lars V. Complex analysis. An introduction to the theory of analytic functions of one complex variable. — Third edition. — Harvard University: McGraw-Hill Book Company, 1979. — 317 с. — ISBN 0-07-000657-1.