Формула Муавра

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Формула Муавра для комплексных чисел утверждает, что

для любого .

Доказательство[править | править код]

Формула Муавра сразу следует из формулы Эйлера и тождества для экспонент , где  — целое число[1]. Однако обычно формула Эйлера доказывается как следствие из формулы Муавра, стандартное доказательство опирается на простейшую геометрию.

Применение[править | править код]

Аналогичная формула применима также и при вычислении корней n-й степени из ненулевого комплексного числа:

где .

Из основной теоремы алгебры следует, что корни -й степени из комплексного числа всегда существуют, и их количество равно . На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в нуле.

При из формулы Муавра следуют выражения для вычисления значений тригонометрических функций с кратным аргументом.[стиль]

История[править | править код]

Открыта французским математиком Абрахамом де Муавром.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Если b — нецелое число, то  — многозначная функция переменной a, и является лишь одним из её значений.