Формула Муавра

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Формула Муавра для комплексных чисел утверждает, что

для любого

Доказательство[править | править вики-текст]

Формула Муавра сразу следует из формулы Эйлера и тождества для экспонент , где b — целое число.[1] Однако обычно формула Эйлера доказывается как следствие из формулы Муавра, стандартное доказательство опирается на простейшую геометрию.

Применение[править | править вики-текст]

Аналогичная формула применима также и при вычислении корней n-ой степени из ненулевого комплексного числа:

где k = 0, 1, …, n—1.

Из основной теоремы алгебры следует, что корни n-й степени из комплексного числа всегда существуют, и их количество равно n. На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в нуле.

При r=1 из формулы Муавра следуют выражения для вычисления значений тригонометрических функций с кратным аргументом.[стиль]

История[править | править вики-текст]

Открыта французским математиком Абрахамом де Муавром.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Если b — нецелое число, то  — многозначная функция переменной a и является лишь одним из её значений.