Корни из единицы

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Корни пятой степени из единицы (вершины пятиугольника)

Корни n-й степени из единицы — комплексные корни многочлена , где . Другими словами, это комплексные числа, n-я степень которых равна 1.

Корни из единицы широко используются в математике, особенно в теории чисел, быстром преобразовании Фурье[1], теории расширений полей, теории построений циркулем и линейкой, представлениях групп.

Представление[править | править вики-текст]

Представим комплексную единицу в тригонометрическом виде:

Тогда по формуле Муавра, получим:

Здесь  — корни из единицы.

Корни из единицы могут также быть представлены в показательной форме:

Из этих формул вытекает, что корней из единицы всегда ровно , и все они различны.

Свойства[править | править вики-текст]

Геометрические свойства[править | править вики-текст]

  • Модуль каждого корня равен 1. На комплексной плоскости корни из единицы образуют вершины правильного многоугольника, вписанного в единичную окружность. Одной из вершин всегда является комплексная единица .
  • Если  — корень из единицы, то сопряжённое к нему число  — тоже корень из единицы.
  • Пусть M — произвольная точка единичной окружности и Тогда сумма квадратов расстояний от M до всех корней -й степени из единицы равна .

Алгебраические свойства[править | править вики-текст]

  • Корни из единицы представляют собой целые алгебраические числа.
  • Корни из единицы образуют по умножению коммутативную конечную группу порядка . В частности, любая целая степень корня из единицы тоже является корнем из единицы. Обратный элемент для каждого элемента этой группы совпадает с сопряжённым ему. Нейтральным элементом группы является комплексная единица.
  • Группа корней из единицы изоморфна аддитивной группе классов вычетов . Отсюда следует, что она является циклической группой; в качестве порождающего (первообразного) можно взять любой элемент , индекс которого взаимно прост с .
    • Следствия:
      • элемент всегда является первообразным;
      • если  — простое число, то степени любого корня, кроме , охватывают всю группу;
      • число первообразных корней равно , где  — функция Эйлера.
  • Если , то для суммы степеней любого первообразного корня из единицы имеет место формула:
Кубические корни из единицы

Примеры[править | править вики-текст]

Кубические корни из единицы:

Корни 4-й степени из единицы:

Для корня 5-й степени имеются 4 порождающих элемента:

Корни 6-й степени из единицы как степени первого порождающего элемента

Для корня 6-й степени порождающих элементов только два:

Круговые поля[править | править вики-текст]

Круговое поле, или поле деления круга степени n — это поле , порождённое присоединением к полю рациональных чисел первообразного корня n-й степени из единицы . Круговое поле является подполем поля комплексных чисел; оно содержит все корни n-й степени из единицы, а также результаты арифметических действий над ними.

Исследование круговых полей сыграло значительную роль в создании и развитии теории целых алгебраических чисел, теории чисел и теории Галуа.

Пример: состоит из комплексных чисел вида , где  — рациональные числа.

Теорема Кронекера-Вебера: всякое абелево конечное расширение поля рациональных чисел содержится в некотором круговом поле.

Обобщения[править | править вики-текст]

Корни из единицы n-й степени можно определить не только для комплексных чисел, но и для любого другого алгебраического поля K как решения уравнения , где  — единица поля K. Корни из единицы существуют в любом поле и образуют подгруппу мультипликативной группы поля K. Обратно, любая конечная подгруппа мультипликативной группы поля K состоит из корней из единицы и является циклической.

Если характеристика поля ненулевая, то группа корней из единицы тривиальна (содержит только единицу поля).

История[править | править вики-текст]

Широкое применение корней из единицы как инструмента исследования начал Гаусс. В своей монографии «Арифметические исследования» (1801) он впервые решил древнюю задачу о делении окружности циркулем и линейкой на n равных частей (или, что то же, о построении правильного многоугольника с n сторонами). С помощью корней из единицы Гаусс свёл задачу к решению уравнения деления круга:

Дальнейшие рассуждения Гаусса показали, что задача имеет решение, только если n может быть представлено в виде . Подход Гаусса использовали позднее Лагранж и Якоби. Коши применил корни из единицы для исследования более общей задачи решения алгебраических уравнений со многими неизвестными (1847 год)[2].

Новые применения корней из единицы обнаружились после создания в начале XX века абстрактной алгебры. Эмми Нётер и Эмиль Артин использовали это понятие в теории расширений полей и обобщении теории Галуа[3].

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Дискретное преобразование Фурье
  2. Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. — М.: ГИФМЛ, 1960. — С. 87—89, 380.. — 468 с.
  3. Ван дер Варден Б. Л. Алгебра, стр. 150—155 и далее.