Разбиение числа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Разбие́ние числа́ n — это представление n в виде суммы положительных целых чисел, называемых частями. При этом порядок следования частей не учитывается (в отличие от композиций), то есть разбиения, отличающиеся только порядком частей, считаются равными. В канонической записи разбиения части перечисляются в невозрастающем порядке.

Число разбиений натурального числа n является одним из фундаментальных объектов изучения в теории чисел.

Примеры[править | править вики-текст]

Например, {3,1,1} или {3,2} — разбиения числа 5, поскольку 5 = 3 + 1 + 1 = 3 + 2. Всего существует p(5) = 7 разбиений числа 5: {1,1,1,1,1}, {2,1,1,1}, {2,2,1}, {3,1,1}, {3,2}, {4,1}, {5}.

Некоторые значения числа разбиений p(n) приведены в следующей таблице[1]:

n p(n) Разбиения
1 1 {1}
2 2 {1,1}, {2}
3 3 {1,1,1}, {2,1}, {3}
4 5 {1,1,1,1}, {2,1,1}, {2,2}, {3,1}, {4}
5 7 {1,1,1,1,1}, {2,1,1,1}, {2,2,1}, {3,1,1}, {3,2}, {4,1}, {5}
6 11
7 15
8 22
9 30
10 42
20 627
50 204 226
100 190 569 292
1000 24 061 467 864 032 622 473 692 149 727 991

Число разбиений[править | править вики-текст]

Производящая функция[править | править вики-текст]

Последовательность числа разбиений имеет следующую производящую функцию:

Эта формула была открыта Эйлером в 1740 году.

Пентагональная теорема Эйлера[править | править вики-текст]

Изучая производящую функцию последовательности , Эйлер сосредоточил внимание на её знаменателе, то есть, на произведении . Это бесконечное произведение при раскрытии скобок приобретает следующий вид:

Показатели степеней x в правой части — это пятиугольные числа, то есть, числа вида где qцелое число, а знак при равен .

Согласно этому наблюдению Эйлер предположил, что должна быть верна Пентагональная теорема:

.

Впоследствии эта теорема была Эйлером доказана. Она позволяет вычислять числа разбиений при помощи деления формальных степенны́х рядов.

Асимптотические формулы[править | править вики-текст]

Асимптотическое выражение для количества разбиений было получено Харди и Рамануджаном и впоследствии уточнено Радемахером. Оригинальное выражение Харди — Рамануджана[источник не указан 1500 дней]

при

дает, например, . Уточнение Радемахера представляет число разбиений в виде сходящегося ряда

где

Здесь суммирование ведется по , взаимно простым с , а сумма Дедекинда. Ряд сходится очень быстро.

Рекуррентные формулы[править | править вики-текст]

Количество разбиений числа n на слагаемые, не превышающие k, удовлетворяет рекуррентной формуле:

с начальными значениями:

для всех

При этом количество всевозможных разбиений числа n равно .

Количество разбиений натурального числа n на k слагаемых удовлетворяет рекуррентной формуле:

с начальными значениями:

Диаграммы Юнга[править | править вики-текст]

Диаграмма Юнга разбиения 10 = 5 + 4 + 1.

Разбиения удобно представлять в виде наглядных геометрических объектов, называемых диаграммами Юнга, в честь английского математика Альфреда Юнга[en]. Диаграмма Юнга разбиения — подмножество первого квадранта плоскости, разбитое на ячейки, каждая из которых представляет собой единичный квадрат. Ячейки размещаются в строки, первая строка имеет длину , над ней расположена строка длиной , и т. д. до -ой строки длины . Строки выровнены по левому краю.

Более формально, диаграмма Юнга — это замыкание множества точек таких, что

и

где обозначает целую часть .

В англоязычной литературе диаграммы Юнга часто изображают отражёнными относительно оси абсцисс.

Схожий объект, называемый диаграммой Феррерса, отличается тем, что

  • вместо ячеек изображаются точки;
  • диаграмма транспонируется: ряды и столбцы меняются местами.

Применение[править | править вики-текст]

Разбиения естественным образом возникают в ряде математических задач. Наиболее значимой из них является теория представлений симметрической группы, где разбиения естественно параметризуют все неприводимые представления. Суммы по всем разбиениям часто встречаются в математическом анализе.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Последовательность A000041 в OEIS

Литература[править | править вики-текст]