Формула суммирования Абеля

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Формула суммирования Абеля, введенная норвежским математиком Нильсом Хенриком Абелем, часто применяется в теории чисел для оценки сумм конечных и бесконечных рядов.

Формула[править | править вики-текст]

Пусть  — последовательность действительных или комплексных чисел и  — непрерывно дифференцируемая на луче функция. Тогда

где

Для доказательства представим обе части равенства как функции от . Во-первых, заметим, что при равенство верно (интеграл обращается в ноль). Во-вторых, при нецелых обе части можно продифференцировать, получив верное равенство. Наконец, при целом левая часть имеет скачок , такой же скачок имеет функция , а интеграл непрерывен, то есть имеет скачок равный нулю. Таким образом, формула доказана для всех .

Если частичные суммы ряда ограничены, а , то предельным переходом можно получить следующее равенство

В общем случае,

Примеры[править | править вики-текст]

Постоянная Эйлера-Маскерони[править | править вики-текст]

Для и легко видеть, что тогда

перенося в левую часть логарифм и преходя к пределу, получаем выражение для Постоянной Эйлера-Маскерони:

  • , где  — дробная часть числа .

Представление Дзета-функции Римана[править | править вики-текст]

Для и аналогично тогда

Эту формулу можно использовать для определения Дзета-функции в области поскольку в этом случае интеграл сходится абсолютно. Кроме того, из неё следует, что имеет простой полюс с вычетом 1 в точке s = 1.