Формула суммирования Абеля

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Формула суммирования Абеля, введенная норвежским математиком Нильсом Хенриком Абелем, часто применяется в теории чисел для оценки сумм конечных и бесконечных рядов.

Формула[править | править вики-текст]

Пусть a_n \, — последовательность действительных или комплексных чисел и f (x) — непрерывно дифференцируемая на луче [1, x) функция. Тогда

\sum_{1\le n \le x} a_n f(n) = A(x)f(x) - \int_1^x A(u)f'(u) \, \mathrm{d}u \,

где

A(x):= \sum_{0 < n \le x} a_n \,.

Для доказательства представим обе части равенства как функции от x. Во-первых, заметим, что при x=1 равенство верно (интеграл обращается в ноль). Во-вторых, при нецелых x обе части можно продифференцировать, получив верное равенство. Наконец, при целом x левая часть имеет скачок a_x f(x), такой же скачок имеет функция A(x) f(x), а интеграл непрерывен, то есть имеет скачок равный нулю. Таким образом, формула доказана для всех x\ge 1.

Если частичные суммы ряда a_n ограничены, а \lim\limits_{x\to\infty}f (x)=0, то предельным переходом можно получить следующее равенство

\sum_{n=1}^{\infty} a_n f(n) = - \int\limits_1^{+\infty} A(u)f'(u) \, \mathrm{d}u \,

В общем случае,

\sum_{x< n\le y} a_n f(n) = A(y) f(y) - A(x) f(x) -\int_x^y A(u)f'(u)\,\mathrm{d}u \,.

Примеры[править | править вики-текст]

Постоянная Эйлера-Маскерони[править | править вики-текст]

Для a_n = 1 \, и f(x) = \frac{1}{x} \,, легко видеть, что A (x) = \lfloor x \rfloor \, тогда

 \sum_{n=1}^x \frac{1}{n} = \frac{\lfloor x \rfloor}{x} + \int_1^x \frac{\lfloor u \rfloor}{u^2} \, \mathrm{d}u = \frac{\lfloor x \rfloor}{x} +Ln(x)-\int_1^x \frac{\{u \}}{u^2}\mathrm{d}u

перенося в левую часть логарифм и преходя к пределу, получаем выражение для Постоянной Эйлера-Маскерони:

Представление Дзета-функции Римана[править | править вики-текст]

Для a_n = 1 \, и f (x) = \frac{1}{x^s} \,, аналогично A (x) = \lfloor x \rfloor \, тогда

 \sum_1^\infty \frac{1}{n^s} = s\int_1^\infty \frac{\lfloor u\rfloor}{u^{1+s}} \mathrm{d}u =s(\int_1^\infty \frac{u}{u^{1+s}} \mathrm{d}u-\int_1^\infty \frac{\{ u\}}{u^{1+s}} \mathrm{d}u)=1+\frac1{s-1}-s\int_1^\infty \frac{\{ u\}}{u^{1+s}} \mathrm{d}u\,.

Эту формулу можно использовать для определения Дзета-функции в области \Re(s) > 0 \, поскольку в этом случае интеграл сходится абсолютно. Кроме того, из неё следует, что \zeta(s) \, имеет простой полюс с вычетом 1 в точке s = 1.