Ядро интегрального оператора

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Ядром интегрального оператора (ядро Фредгольма[1]) называется функция двух аргументов , определяющая некий интегральный оператор равенством

где  — пространство с мерой , а принадлежит некоторому пространству функций, определённых на .

Примеры[править | править код]

  • Ядро называется -ядром, если оно удовлетворяет условию:

где  — измеримая на функция.

Такие ядра являются основным предметом рассмотрения теории интегральных уравнений.

  • Ядро, удовлетворяющее условию:
при

называется ядром Вольтерры.

  • Симметричное ядро — ядро, для которого выполняется тождество .
  • Если выполняется тождество , где комплексно сопряжённое к , то такое ядро называется эрмитовым.
  • Если ядро допускает разложение вида:

где — две системы линейно независимых интегрируемых с квадратом функций (-функций), такое ядро называется ядром Пинкерле (англ.)Гурса, или PG-ядром.

Связанные определения[править | править код]

Теорема Мерсера[править | править код]

Теорема Мерсера (англ.) о разложении ядра гласит:

Если симметричное -ядро непрерывно и обладает лишь положительными собственными значениями (или самое большее конечным числом отрицательных собственных значений) , то справедливо представление:

где ортогональная система -функций. При этом ряд сходится абсолютно и равномерно.

Литература[править | править код]

  • Трикоми Ф. Интегральные уравнения. — М.: Издательство иностранной литературы, 1960. — 300 с.
  • Полянин А. Д., Манжиров А. В. Справочник по интегральным уравнениям. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 608 с. — ISBN 5-9221-0288-5..
  • Полянин А. Д., Манжиров А. В. Справочник по интегральным уравнениям: Точные решения. — М.: Факториал, 1998. — 432 с. — ISBN 5-88688-024-0..

Примечания[править | править код]

  1. Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. — М.: Мир, 1985. — Т. 5. — С. 660. — 1060 с.