Результант

Не следует путать с результатом.

В математике, результантом ${\mathcal {R}}$ двух многочленов $P$ и $Q$ над некоторым полем $\mathbb {K}$, старшие коэффициенты которых равны единице, называется выражение

${\mathcal {R}}=\mathrm {res} (P,Q)=\prod _{(x,y):\,P(x)=0,\,Q(y)=0}(x-y),$

иными словами, это произведение попарных разностей между их корнями. Произведение здесь берётся по всем корням в алгебраическом замыкании поля $\mathbb {K}$ с учётом их кратностей; поскольку получающееся выражение является симметрическим многочленом от корней многочленов $P$ и $Q$ (лежащих, быть может, вне поля $\mathbb {K}$), оно тем самым оказывается многочленом от коэффициентов $P$ и $Q$. Для многочленов, старшие коэффициенты которых ($p$ и $q$ соответственно) не обязательно равны 1, вышеупомянутое выражение умножается на

$p^{\deg Q}q^{\deg P}.$

Свойства и способы вычисления

• Основным свойством результанта, и его основным применением, является следующее: результант — многочлен от коэффициентов $P$ и $Q$, равный нулю в том и только в том случае, когда у многочленов $P$ и $Q$ имеется общий корень, возможно, в некотором расширении поля $\mathbb {K}$.
• Результант может быть найден как определитель матрицы Сильвестра.
• Дискриминант — это, с точностью до знака, результант многочлена и его производной, поделённый на старший коэффициент многочлена; тем самым, дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда у многочлена есть кратные корни.
• $\mathrm {res} (P_{1}P_{2},Q)=\mathrm {res} (P_{1},Q)\mathrm {res} (P_{2},Q)$
• $\mathrm {res} (P,\operatorname {const} )=\operatorname {const} ^{\deg P}$
• $\mathrm {res} (AP(x),BQ(x))=A^{\deg Q}B^{\deg P}\mathrm {res} (P(x),Q(x))$
• Если $A,C\neq 0,\deg(AP(x)+BQ(x))=\deg(CP(x)+DQ(x))=n\geqslant 1$, то

$\mathrm {res} (AP(x)+BQ(x),CP(x)+DQ(x))=(AD-BC)^{n}\mathrm {res} (P(x),Q(x))$

• $\mathrm {res} (P,Q)=0\Leftrightarrow \deg \gcd(P,Q)\geqslant 1$, т.е. результант тогда и только тогда равен нулю, когда НОД многочленов нетривиален. Вообще, вычисление результанта может быть произведено с помощью алгоритма Евклида, и именно так вычисляется результант в различных матпакетах.
• Для многочленов $P(x),Q(x)$ существуют многочлены $U(x),V(x)$ с $\deg {U}\leqslant \deg {P}-1,\deg {V}\leqslant \deg {Q}-1$ такие, что

$\mathrm {res} (P(x),Q(x))=P(x)V(x)+Q(x)U(x)$. Многочлены $U(x),V(x)$ с $m=\deg U,n=\deg V$ могут быть получены из представления результанта определителем в форме Сильвестра, в котором последний столбец заменён на $(x^{m},...,x,1,0,...,0)^{T}$ для $U(x)$ или на $(0,...,0,x^{n},...,x,1)^{T}$ для $V(x)$.

• Для сепарабельного многочлена, в частности, для полей характеристики нуль, результант равен произведению значений одного из многочленов по корням другого, как и раньше, произведение берётся с учётом кратности корней:

$\mathrm {res} (P,Q)=\prod _{P(x)=0}Q(x).$

Литература

• Прасолов В. В. Многочлены. — М.: МЦНМО, 1999, 2001, 2003.
• Калинина Е.А., Утешев А.Ю. Теория исключения. — СПбГУ, НИИ химии, 2002.

Ссылки

• Статья Weisstein, Eric W. «Resultant» на сайте «MathWorld».