Сепарабельный многочлен

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Сепарабельный многочлен — многочлен над полем , все неприводимые множители которого не имеют кратных корней в алгебраическом замыкании поля .

Существует также альтернативное, близкое по сути, но неэквивалентное в общем случае определение: многочлен сепарабелен, если он не имеет общих корней со своей формальной производной . Это последнее означает, что сам многочлен (а не только его неприводимые над сомножители) не имеет кратных корней в алгебраическом замыкании. В частности, для неприводимых многочленов оба определения эквивалентны.

Неприводимые многочлены над совершенными полями всегда сепарабельны — что включает, в частности, все поля характеристики ноль, а также все конечные поля.

Поскольку неприводимый многочлен (в силу алгоритма Евклида) взаимно прост со всеми многочленами меньшей степени, он может оказаться несепарабельным, только если его производная равна нулю. Поэтому, несепарабельность — феномен, проявляющийся только в конечной характеристике: для неприводимого несепарабельного многочлена должно иметь место представление:

,

где  — также неприводимый многочлен, а  — характеристика поля. Исходя из этого, легко построить пример несепарабельного многочлена, например, таков многочлен:

над полем рациональных функций от одной переменной над полем из элементов . Действительно, при переходе к алгебраическому расширению (или просто при присоединении к полю ):

,

иными словами, является (единственным) корнем кратности .