Интегральный синус

График интегрального синуса для 0 ≤ x ≤ 8π.

Интегра́льный си́нус — специальная функция, определяемая интегралом:

$\operatorname {Si} \,x=\int \limits _{0}^{x}{\frac {\sin t}{t}}\,dt.$

Иногда также пользуются обозначением $\operatorname {si} \,x:$

$\operatorname {si} \,x=-\int \limits _{x}^{\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,dt=\operatorname {Si} \,x-{\frac {\pi }{2}}.$

Интегральный синус может быть определён через интегральную показательную функцию по аналогии с синусом:

$\operatorname {si} \,x={\frac {1}{2i}}\left(\operatorname {Ei} \,(ix)-\operatorname {Ei} \,(-ix)\right).$

Интегральный синус был введён Лоренцо Маскерони в 1790 году.

Свойства

• Интегральный синус — нечётная функция:

$\operatorname {Si} \,(-x)=-\,\operatorname {Si} \,x.$

• Интегральный синус имеет асимптоты:

$\lim _{x\to +\infty }\operatorname {Si} \,x={\frac {\pi }{2}},$

$\lim _{x\to +\infty }\operatorname {si} \,x=0,$

$\lim _{x\to -\infty }\operatorname {Si} \,x=-{\frac {\pi }{2}},$

$\lim _{x\to -\infty }\operatorname {si} \,x=-\pi .$

• Интегральный синус имеет локальные экстремумы в точках $x=\pm \pi ,\,\pm 2\pi ,\,\pm 3\pi ,\,\cdots$

Разложение в ряд

$\operatorname {Si} \,x=x-{\frac {x^{3}}{3\cdot 3!}}+{\frac {x^{5}}{5\cdot 5!}}-{\frac {x^{7}}{7\cdot 7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!(2n+1)}}x^{2n+1}.$

Этот ряд применяется для практического вычисления интегрального синуса, причём в соответствии c теоремой Лейбница погрешность будет меньше модуля последнего взятого члена этого ряда.

См. также

• Интегральный косинус
• Интегральный логарифм
• Интегральная показательная функция

Литература

• Математический энциклопедический словарь. — М., 1995. — С. 238.