Теорема Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Теорема Лейбница (признак Лейбница) — теорема об условной сходимости знакочередующихся рядов, сформулированная немецким математиком Лейбницем.

Формулировка[править | править код]

Знакочередующийся ряд

сходится, если выполняются оба условия:

  1. , начиная с некоторого номера ()

Замечания:

Если выполнены все условия, и ряд из модулей () сходится, то исходный ряд сходится абсолютно. Если выполнены все условия, но ряд из модулей расходится, то исходный ряд сходится условно. Строгая положительность существенна (действительно, появление нуля сделает ряд не знакочередующимся, так как 0 не влияет на сумму и его можно исключить).

Ряды, удовлетворяющие признаку Лейбница, называются рядами Лейбница. Следует отметить, что монотонное убывание не является необходимым для сходимости знакочередующегося ряда, таким образом и сам признак является только достаточным, но не необходимым.

Доказательство[править | править код]

Рассмотрим две последовательности частичных сумм ряда и .

Первая последовательность не возрастает: по первому условию.

По тому же условию вторая последовательность не убывает: .

Первая последовательность мажорирует вторую, а именно, для любых имеет место неравенство

,

поэтому они обе сходятся как монотонные ограниченные последовательности.

Осталось заметить, что , поэтому они сходятся к общему пределу , который и является суммой исходного ряда (действительно, если подпоследовательности из четных и нечетных элементов сходятся к одному и тому же числу, то и исходная последовательность сходится, причем к тому же числу).

Попутно мы показали, что для любой частичной суммы ряда имеет место оценка .

Следствие[править | править код]

Из теоремы Лейбница вытекает следствие, позволяющее оценить погрешность вычисления неполной суммы ряда:

Остаток сходящегося знакочередующегося ряда будет по модулю меньше первого отброшенного слагаемого:

См. также[править | править код]

Источники[править | править код]

  • Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. — Изд. 7-е, стереотипное. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1967. — С. 296.

Примечания[править | править код]

  1. 1 2 Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: Учеб. для вузов. — 10-е изд., испр. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.