3j-символы Вигнера, называемые также 3jm-символами, находят применение в квантовой механике и связаны с коэффициентами Клебша — Гордана следующими формулами:
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\equiv {\frac {(-1)^{j_{1}-j_{2}-m_{3}}}{\sqrt {2j_{3}+1}}}\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|j_{3}(-m_{3})j_{1}j_{2}\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9824af6e43c58771a8e0dcb85feecd9f1f69b3a7)
Обратная связь
Обратная связь между коэффициентами Клебша — Гордана и 3j-символами может быть найдена следующим образом: замечая, что j1 − j2 − m3 это целое число и делая подстановку
, получим:
![{\displaystyle \langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|j_{3}m_{3}j_{1}j_{2}\rangle =(-1)^{j_{1}-j_{2}+m_{3}}{\sqrt {2j_{3}+1}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&-m_{3}\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d02b656a26398cc450d10512e0c2a826d3d41e3)
Симметрия
Симметрия 3j-символов выражается более удобно, чем у коэффициентов Клебша — Гордана. 3j-символ инвариантен при чётной перестановке его столбцов:
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}j_{2}&j_{3}&j_{1}\\m_{2}&m_{3}&m_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}j_{3}&j_{1}&j_{2}\\m_{3}&m_{1}&m_{2}\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66272830f76fd77b50b76b3b0be765b9bb90b75c)
Нечётная перестановка столбцов приводит к домножению на фазовый фактор:
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{2}&j_{1}&j_{3}\\m_{2}&m_{1}&m_{3}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{3}&j_{2}\\m_{1}&m_{3}&m_{2}\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/783d1bd3a55dd8401a76f9c345f5db5493b037c6)
Замена знака квантовых чисел
также даёт дополнительную фазу:
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\-m_{1}&-m_{2}&-m_{3}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b94f388c7d4d9c46942bdb5eed197bdfec1a5d22)
Правила отбора
3j-символ Вигнера не равен нулю только при выполнении следующих условий:
![{\displaystyle m_{1}+m_{2}+m_{3}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53f775d3e58e53044e820c38013b4ed735736cbe)
— целое,
![{\displaystyle |m_{i}|\leqslant j_{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6df54d0419d41245c1aaffbd6d4eae58e9fd0cd4)
![{\displaystyle |j_{1}-j_{2}|\leqslant j_{3}\leqslant j_{1}+j_{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbb2521dce933514b327de162c77964a4ae5e2d8)
Скалярная инвариантность
Свёртка произведения трёх вращательных состояний с 3j-символами
![{\displaystyle \sum _{m_{1}=-j_{1}}^{j_{1}}\sum _{m_{2}=-j_{2}}^{j_{2}}\sum _{m_{3}=-j_{3}}^{j_{3}}|j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle |j_{3}m_{3}\rangle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fd800c54764a0facf9f0de6d5bd9f0a273d88fa)
инвариантна при вращениях.
Ортогональность
3j-символы удовлетворяют следующим свойствам ортогональности:
![{\displaystyle (2j+1)\sum _{m_{1}m_{2}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j\\m_{1}&m_{2}&m\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j'\\m_{1}&m_{2}&m'\end{pmatrix}}=\delta _{jj'}\delta _{mm'},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fef2eff44c42a9adacfb4a894ea4ff86980ccc0)
![{\displaystyle \sum _{jm}(2j+1){\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j\\m_{1}&m_{2}&m\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j\\m_{1}'&m_{2}'&m\end{pmatrix}}=\delta _{m_{1}m_{1}'}\delta _{m_{2}m_{2}'}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6702e86e215c9d44e068dd9dadc68a82ad0c6a6)
Связь со сферическими гармониками
Через 3j-символы выражаются интегралы от произведения трёх сферических гармоник:
![{\displaystyle \int Y_{l_{1}m_{1}}(\theta ,\varphi )Y_{l_{2}m_{2}}(\theta ,\varphi )Y_{l_{3}m_{3}}(\theta ,\varphi )\,\sin \theta \,d\theta \,d\varphi ={\sqrt {\frac {(2l_{1}+1)(2l_{2}+1)(2l_{3}+1)}{4\pi }}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcc231379ccbafa062ad0532f12c503cac8c99dd)
где
,
и
являются целыми числами.
Связь с интегралами от сферических гармоник со спиновыми весами
Прочие свойства
См. также
Литература
- Собельман И. И.: Введение в теорию атомных спектров. Издательство Литература. 1963
- L. C. Biedenharn and J. D. Louck, Angular Momentum in Quantum Physics, volume 8 of Encyclopedia of Mathematics, Addison-Wesley, Reading, 1981.
- D. M. Brink and G. R. Satchler, Angular Momentum, 3rd edition, Clarendon, Oxford, 1993.
- A. R. Edmonds, Angular Momentum in Quantum Mechanics, 2nd edition, Princeton University Press, Princeton, 1960.
- Варшалович Д. А., Москалёв А. Н., Херсонский В. К. Квантовая теория углового момента. — Л.: Наука, 1975.
- E. P. Wigner, On the Matrices Which Reduce the Kronecker Products of Representations of Simply Reducible Groups, unpublished (1940). Reprinted in: L. C. Biedenharn and H. van Dam, Quantum Theory of Angular Momentum, Academic Press, New York (1965).
Ссылки