Эпсилон-окрестность

$\varepsilon$-окре́стность множества в функциональном анализе и смежных дисциплинах — это такое множество, каждая точка которого удалена от данного множества менее, чем на $\varepsilon$.

Определения

• Пусть $(X,\varrho )$ есть метрическое пространство, $x_{0}\in X,$ и $\varepsilon >0.$ $\varepsilon$-окрестностью $x_{0}$ называется множество

$U_{\varepsilon }(x_{0})=\{x\in X\mid \varrho (x,x_{0})<\varepsilon \}.$

• Проколотой $\varepsilon$-окрестностью точки $x_{0}$ называется её $\varepsilon$-окрестность без неё самой:

${\dot {U}}_{\varepsilon }(x_{0})=U_{\varepsilon }(x_{0})\backslash x_{0}$

• Пусть дано подмножество $A\subset X.$ Тогда $\varepsilon$-окрестностью этого множества называется множество

$U_{\varepsilon }(A)=\bigcup \limits _{x\in A}U_{\varepsilon }(x).$

Замечания

• $\varepsilon$-окрестностью точки $x_{0}$ таким образом называется открытый шар с центром в $x_{0}$ и радиусом $\varepsilon .$
• Прямо из определения следует, что

$U_{\varepsilon }(A)=\{x\in X\mid \exists y\in A\;\varrho (x,y)<\varepsilon \}.$

• $\varepsilon$-окрестность является окрестностью и, в частности, открытым множеством.

Примеры

Пусть есть вещественная прямая $\mathbb {R}$ со стандартной метрикой $\varrho (x,y)=|x-y|,\;x,y\in \mathbb {R} .$ Тогда

• $U_{2}(1)=(-1,3);$
• $U_{1}([5,7])=(4,8).$