Четырнадцатая проблема Гильберта

Четырнадцатая проблема Гильберта — четырнадцатая из проблем, поставленных Давидом Гильбертом в его знаменитом докладе на II Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Она посвящена вопросу конечной порождённости возникающих при определённых конструкциях колец. Исходная постановка Гильберта была мотивирована работой Маурера, в которой утверждалась конечная порождённость алгебры инвариантов линейного действия алгебраической группы на векторном пространстве; собственно же вопрос Гильберта касался кольца, получаемого пересечением подполя в поле рациональных функций с кольцом многочленов.

Однако вскоре после доклада выяснилось, что работа Маурера содержала ошибку, — и вопрос Гильберта начали рассматривать как вопрос о конечной порождённости алгебр инвариантов линейных алгебраических групп. Неожиданным образом оказалось, что ответ на этот вопрос отрицателен: в 1958 году на конгрессе в Эдинбурге М. Нагата предъявил к нему контрпример . Им была построена подгруппа в GL(n), алгебра инвариантов которой не является конечно порождённой. Эта конструкция была затем упрощена Стейнбергом в его работе 1997 года.

Формулировки

Исходная формулировка Гильберта

14. Доказательство конечности некоторой полной системы функций.

<...> Мауреру недавно удалось распространить доказанные Жорданом и мною теоремы конечности в теории инвариантов на случай, когда инварианты определяются не общей проективной группой, как в обыкновенной теории инвариантов, а произвольной её подгруппой. <...>

Пусть дано некоторое число m целых рациональных функций $X_{1},...,X_{m}$ от переменных $x_{1},\dots ,x_{n}$:

$\left.{\begin{array}{c}X_{1}=f_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})\\X_{2}=f_{2}(x_{1},\dots ,x_{n})\\\vdots \\X_{m}=f_{m}(x_{1},\dots ,x_{n})\end{array}}\right\}\qquad \qquad (S)$

Всякая целая рациональная связь между $X_{1},\dots ,X_{m}$, если в неё внесены эти их значения, очевидно, тоже представляет целую рациональную функцию от $x_{1},\dots ,x_{n}$. Вполне, однако, могут существовать дробные рациональные функции от $X_{1},\dots ,X_{m}$, которые после подстановки (S) приведут к целым функциям от $x_{1},\dots ,x_{n}$. Каждую такую функцию <...> я буду называть относительно целой функцией от $X_{1},\dots ,X_{m}$. <...> Проблема, таким образом, выражается в следующем: установить, всегда ли возможно найти такую конечную систему относительно целых функций от $X_{1},\dots ,X_{m}$, через которую любая другая относительно целая функция выражается целым и рациональным образом. <...>

Иными словами, это вопрос о конечной порождённости алгебры $K\bigcap k[x_{1},\dots ,x_{n}]$, где $K$ — порождённое $X_{1},\dots ,X_{n}$ поле. Поскольку всякое промежуточное поле $k\subset K\subset k(x_{1},\dots ,x_{n})$ является конечно-порожденым как расширение k, в итоге на современном языке исходная формулировка Гильберта звучит следующим образом:

Пусть $K\subset k[x_{1},\dots ,x_{n}]$ — некоторое поле, содержащее основное поле k. Правда ли, что алгебра $K\bigcap k[x_{1},\dots ,x_{n}]$ конечно порождена?

Литература

• И. В. Аржанцев. Градуированные алгебры и 14-я проблема Гильберта. — М.: МЦНМО, 2009. — 64 с. — 1000 экз. — ISBN 978-5-94057-491-0.
• Проблемы Гильберта / под ред. П. С. Александрова. — М.: Наука, 1969. — 240 с. — 10 700 экз. Архивная копия от 17 октября 2011 на Wayback Machine