Тринадцатая проблема Гильберта

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Трина́дцатая пробле́ма Ги́льберта — одна из 23 задач, которые Давид Гильберт предложил 8 августа 1900 года на II Международном конгрессе математиков. Она была мотивирована применением методов номографии к вычислению корней уравнений высоких степеней, и касалась представимости функций нескольких переменных, в частности, решения уравнения седьмой степени как функции от коэффициентов, в виде суперпозиции нескольких непрерывных функций двух переменных.

Проблема была решена В. И. Арнольдом совместно с А. Н. Колмогоровым, доказавшими, что любая непрерывная функция любого количества переменных представляется в виде суперпозиции непрерывных функций одной и двух переменных (и, более того, что в таком представлении можно обойтись, в дополнение к непрерывным функциям одной переменной, единственной функцией двух переменных — их суммой):[1][2]

f(x_1,\dots,x_n)=\sum_{q=0}^{2 n}\Phi_q\left(\sum_{p=1}^n\psi_{q,p}(x_p)\right).

Постановка проблемы[править | править вики-текст]

Уравнения степеней до четвёртой включительно разрешимы в радикалах: для их решений существуют явные формулы (формула Кардано и метод Феррари для уравнений третьей и четвёртой степени соответственно). Для уравнений степеней, начиная с пятой, их неразрешимость в радикалах утверждается теоремой Абеля — Руффини. Однако преобразования Чирнгауза позволяют свести общее уравнение степени n>4 к виду, свободному от коэффициентов при x^{n-1}, x^{n-2} и x^{n-3}; для n=5 этот результат был получен Брингом в 1786, и для общего случая Джерардом в 1834.[3]. Тем самым (после дополнительной перенормировки), решение уравнений степеней 5, 6 и 7 сводилось к решению уравнений вида


x^5+ax+1=0
,

x^6+ax^2+bx+1=0,

x^7+ax^3+bx^2+cx+1 = 0

зависящих от одного, двух и трех параметров соответственно.


Непредставимость с сохранением класса гладкости[править | править вики-текст]

Решение: теоремы Колмогорова и Арнольда[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  1. В. И. Арнольд, Избранное-60, М.: Фазис, 1997. С. 18, теорема 4.
  2. On a constructive proof of Kolmogorov’s superposition theorem
  3. Weisstein, Eric W. Tschirnhausen Transformation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.