Катеноид

Катеноид.

Катеноид — минимальная поверхность, образуемая вращением цепной линии.

$y=a\,\operatorname {ch} \,{\frac {x}{a}}$ вокруг оси $OX$.

История

Катеноид был впервые описан Эйлером в 1744 году. Слово катеноид образовано от лат. catena означает цепь и греческого éidos — вид.

Уравнения

Катеноид можно задать и параметрически:

$u\in \mathbb {R} ,\quad v\in \left[0;2\pi \right),\qquad {\begin{cases}x=\operatorname {ch} (u)\,\cos(v)\\y=\operatorname {ch} (u)\,\sin(v)\\z=u\end{cases}},$

где $\operatorname {ch}$ — гиперболический косинус.

Свойства

Мыльная плёнка в форме катеноида.

• Является минимальной поверхностью.
  • В частности, форму катеноида принимает мыльная плёнка, натянутая на две близких проволочных окружности, плоскости которых перпендикулярны линии, соединяющей их центры.
• Не слишком большой участок катеноида можно изометрически (без сжатий и растяжений) преобразовать в участок геликоида.
• Общая кривизна равна $-4\cdot \pi$.
  • Полная погруженная минимальная поверхность в $\mathbb {R} ^{3}$ с общей кривизны $-4\cdot \pi$ является либо катеноидом либо поверхностью Эннепера.

Ссылки

• Катеноид // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.