Цепная линия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Висящая цепь образует цепную линию
Цепная линия при различных значениях параметра

Цепна́я ли́ния — линия, форму которой принимает гибкая однородная нерастяжимая тяжёлая нить или цепь (отсюда название линии) с закреплёнными концами в однородном гравитационном поле. Является плоской трансцендентной кривой.

Уравнение линии в декартовых координатах:

(о функции см. гиперболический косинус).

Все цепные линии подобны одна другой, изменение параметра эквивалентно равномерному растяжению или сжатию графика функции вдоль оси . Переменная графика отсчитывается от самой низкой точки на оси ординат цепной линии.

Математические свойства цепной линии впервые изучал Роберт Гук в 1670-х годах, а её уравнение было получено независимо Лейбницем, Гюйгенсом и Иоганном Бернулли в 1691 году.

Свойства[править | править код]

Натяжение цепной линии. Каждая кривая соответствует разному значению горизонтальной составляющей силы натяжения  — погонная плотность нити.
  • Мыльная плёнка, натянутая на два параллельных кольца, не обязательно равных диаметров, принимает форму катеноида — поверхности, возникающей в результате вращения цепной линии.
  • Длина дуги от вершины до произвольной точки
  • Радиус кривизны:
  • Площадь, ограниченная цепной линией, двумя её ординатами и осью абсцисс:
  • Траектория фокуса параболы, катящейся по прямой, есть цепная линия[1].
  • Центр тяжести цепной линии самый низкий из всех форм нитей равной длины, соединяющих две опоры, т. е. имеет минимум потенциальной энергии[2].

Применения[править | править код]

Арки[править | править код]

Перевёрнутая цепная линия — идеальная с точки зрения прочности форма для арок. Материал однородной арки с одинаковой по длине линейной плотностью в форме перевёрнутой цепной линии испытывает только механические напряжения сжатия и не испытывает напряжений изгиба.

Мосты[править | править код]

Горбатый мост имеет форму, близкую к цепной линии.

Стоит заметить, что форма изгиба тросов подвесного моста ближе к параболе, чем к цепной линии[3]. Это связано с тем, что основной вес моста распределён в полотне моста, а не в поддерживающих тросах.

Трёхколёсный велосипед с квадратными колёсами едет по поверхности с профилем цепной линии

Квадратные колёса[править | править код]

Если профиль шоссе представляет собой перевёрнутые арки цепной линии, то по нему можно ездить на квадратных колёсах[en], ровно и без тряски — если сторона квадрата колеса равна длине арки неровности дороги[4][5].

Цепная линия в качестве поверхности для плавности качения на квадратных колесах

История[править | править код]

Уравнение цепной линии практически одновременно получено Лейбницем, Гюйгенсом и Иоганном Бернулли[6].

Интересные факты[править | править код]

На арке «Ворота Запада» в Сент-Луисе написана математическая формула её цепной линии, выраженная в футах[7]:

Выраженное в метрах, это уравнение будет

Примечания[править | править код]

  1. Савёлов А. А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения (Справочное руководство) / Под ред. А. П. Нордена. М.: Физматлит, 1960. С. 250.
  2. "The Calculus of Variations" (2015). Дата обращения 3 мая 2019.
  3. Paul Kunkel. Hanging With Galileo (англ.) (HTML). Whistler Alley Mathematics — whistleralley.com. Дата обращения 24 июля 2012. Архивировано 6 августа 2012 года.
  4. Цепная линия. Математические этюды. Дата обращения 7 апреля 2020.
  5. A Catenary Road and Square Wheels. New Trier High School, Winnetka, Illinois. Дата обращения 7 апреля 2020. Архивировано 30 сентября 2006 года.
  6. Меркин, 1980, с. 47.
  7. Barrow, John D., 1952. Cosmic imagery: key images in the history of science. — ISBN 9781448113675, 1448113679.

Литература[править | править код]