Это старая версия этой страницы, сохранённая 81.5.88.3(обсуждение) в 14:56, 5 октября 2018(Исправлена ссылка). Она может серьёзно отличаться от текущей версии.
Пусть — топологическое пространство, и — два связных открытых множества таких, что пересечение также связно, и .
Зафиксируем точку .
Заметим, что включения
индуцируют гомоморфизмы соответствующих фундаментальных групп
, , и .
Согласно теореме Зейферта — ван Кампена, эти четыре гомоморфизма определяют кодекартов квадрат в категории групп,
то есть
Пространство односвязно если оно допускает покрытие двумя односвязными открытыми множествами со связным пересечением.
Например сферу можно покрыть двумя дисками и , где и обозначают северный и южный полюсы соответственно. Заметим, что пересечение связно. Значит, по теореме Зейферта — ван Кампена фундаментальная группа также тривиальна.
Вариации и обобщения
Существует обобщение теоремы для фундаментальных группоидов. Она позволяет работать в случае если не связно.
E. R. van Kampen. On the connection between the fundamental groups of some related spaces. American Journal of Mathematics, vol. 55 (1933), pp. 261—267.