Кодекартов квадрат

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Кодекартов квадрат (также — универсальный квадрат) — теоретико-категорное понятие, двойственное понятию декартова квадрата. Кодекартов квадрат является частным случаем копредела.

Универсальное свойство[править | править вики-текст]

Пусть f : ZX, g : ZY — морфизмы в категории C. Кодекартов квадрат для пары морфизмов (f, g) — это коммутативный квадрат следующего вида:

Categorical pushout.svg

Более того, кодекартов квадрат является универсальным среди объектов с этим свойством. А именно, для любого объекта Q с морфизмами j1, j2, дополняющими f, g до коммутативного квадрата, существует единственный морфизм u : PQ, делающий следующую диаграмму коммутативной:

Categorical pushout (expanded).svg

Объект с морфизмами i1, i2 называется расслоенным копроизведением (расслоенной суммой, амальгамой, амальгамированной суммой, англ. pushout).

Как и любые универсальные конструкции, кодекартов квадрат не обязательно существует, но если существует, то определён с точностью до изоморфизма.

Примеры[править | править вики-текст]

  • В категории абелевых групп о кодекартовом квадрате можно говорить как о прямой сумме абелевых групп «со склейкой». А именно, если f и g — гомоморфизмы с общим источником Z, кодекартов квадрат является факторгруппой прямой суммы по подгруппе, порождённой всеми элементами вида (f(z), −g(z)). Примерно то же самое можно проделать в категории модулей.

Литература[править | править вики-текст]

  • Голдблатт Р. Топосы. Категорный анализ логики = Topoi. The categorial analysis of logic / Пер. с англ. В. Н. Гришина и В. В. Шокурова под ред. Д. А. Бочвара. — М.: Мир, 1983. — 488 с.
  • Маклейн С. Глава 3. Универсальные конструкции и пределы // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 68—94. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.