K-распределение

K-распределение — в теории вероятности и статистике семейство трёхпараметрических непрерывных вероятностных распределений. Возникает при суперпозиции двух гамма-распределений. В каждом случае производится репараметризация гамма-распределения, и параметрами распределения являются:

• среднее значение распределения;
• обычные параметры формы.

Плотность вероятности

Модель заключается в том, что случайная величина $X$ имеет гамма-распределение со средним значением $\sigma$ и параметром формы $L$, причём величина $\sigma$ в свою очередь имеет гамма-распределение со средним значением $\mu$ и параметром формы $\nu$. В результате величина $X$ имеет следующую функцию плотности вероятности для $x>0$:

$f_{X}(x;\mu ,\nu ,L)={\frac {2\,\xi ^{(\beta +1)/2}x^{(\beta -1)/2}}{\Gamma (L)\Gamma (\nu )}}K_{\alpha }(2{\sqrt {\xi x}}),$

где $\alpha =\nu -L,$ $\beta =L+\nu -1,$ $\xi =L\nu /\mu ,$ а $K$ представляет собой модифицированную функцию Бесселя второго рода. Таким образом, K-распределение является составным распределением вероятности. Оно также является мультипликативным распределением, так как представляет собой распределение произведения двух независимых случайных величин, одно из которых имеет гамма-распределение со средним $\sigma$ и параметром формы $L$, вторая — гамма-распределение со средним $\mu$ и параметром формы $\nu$.

Распределение предложено в 1978 году статье Эрика Джекмана и Питера Пьюси, которые использовали его при моделировании отражения СВЧ-излучения от морской поверхности. Джекман и Тоу в 1987 году получили это распределение из смещённой модели случайного блуждания. Уорд (1981) получил K-распределение как распределение произведения  двух случайных величин, z = ay, где а имеет хи-распределение, а y — комплексное гауссово распределение, в результате чего модуль величины z имеет K-распределение.

Моменты

Производящая функция моментов определяется как

$M_{X}(s)=\left({\frac {\xi }{s}}\right)^{\beta /2}\exp \left({\frac {\xi }{2s}}\right)W_{-\beta /2,\alpha /2}\left({\frac {\xi }{s}}\right),$

где $W_{-\beta /2,\alpha /2}(\cdot )$ — функция Уиттекера.

N-й момент K-распределения определяется как

$\mu _{n}=\xi ^{-n}{\frac {\Gamma (L+n)\Gamma (\nu +n)}{\Gamma (L)\Gamma (\nu )}}.$

Поэтому математическое ожидание и дисперсия равны

$\operatorname {E} (X)=\mu ;$

$\operatorname {var} (X)=\mu ^{2}{\frac {\nu +L+1}{L\nu }}.$

Другие свойства

Все свойства распределения симметричны относительно $L$ и $\nu .$

Приложения

K-распределение возникает в статистических или вероятностных моделях, используемых при моделировании радиолокаторов с синтезированной апертурой (РСА). Оно является суперпозицией два независимых вероятностных распределений, одно из которых представляет собой эффективную площадь рассеяния, а другая — спекл (дифракционное пятно, полученная в когерентном свете). Также используется в беспроводной связи в модели быстрых замираний и экранирования сигнала.

Дальнейшее чтение

• Jakeman, E. (1980) "On the statistics of K-distributed noise", Journal of Physics A: Mathematics and General, 13, 31—48.
• Ward, K. D.; Tough, Robert J. A; Watts, Simon (2006) Sea Clutter: Scattering, the K Distribution and Radar Performance, Institution of Engineering and Technology. ISBN 0-86341-503-20-86341-503-2.