Гамма-распределение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Гамма-распределение
Плотность вероятности
Плотности гамма-распределений
Функция распределения
Функции гамма-распределений
Обозначение ,
Параметры - коэффициент масштаба
Носитель
Плотность вероятности
Функция распределения
Математическое ожидание
Медиана
Мода , когда
Дисперсия
Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса
Дифференциальная энтропия
Производящая функция моментов , когда
Характеристическая функция

Га́мма-распределе́ние в теории вероятностей — это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Если параметр принимает целое значение, то такое гамма-распределение также называется распределе́нием Эрла́нга.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть распределение случайной величины задаётся плотностью вероятности, имеющей вид

где гамма-функция Эйлера.

Тогда говорят, что случайная величина имеет гамма-распределение с параметрами и . Пишут .

Замечание. Иногда используют другую параметризацию семейства гамма-распределений. Или вводят третий параметр — сдвиг.

Моменты[править | править вики-текст]

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины , имеющей гамма-распределение, имеют вид

,
.

Свойства гамма-распределения[править | править вики-текст]

  • Если независимые случайные величины, такие что , то
.
  • Если , и — произвольная константа, то
.

Связь с другими распределениями[править | править вики-текст]

.
  • Если — независимые экспоненциальные случайные величины, такие что , то
.
.
при .
  • Если — независимые случайные величины, такие что , то
.

Моделирование гамма-величин[править | править вики-текст]

Учитывая свойство масштабирования по параметру θ, указанное выше, достаточно смоделировать гамма-величину для θ = 1. Переход к другим значениям параметра осуществляется простым умножением.

Используя тот факт, что распределение совпадает с экспоненциальным распределением, получаем, что если U — случайная величина, равномерно распределённая на интервале (0, 1], то .

Теперь, используя свойство k-суммирования, обобщим этот результат:

где Uiнезависимые случайные величины, равномерно распределённые на интервале (0, 1].

Осталось смоделировать гамма-величину для 0 < k < 1 и ещё раз применить свойство k-суммирования. Это является самой сложной частью.

Ниже приведён алгоритм без доказательства. Он является примером выборки с отклонением.

  1. Положить m равным 1.
  2. Сгенерировать и — независимые случайные величины, равномерно распределённые на интервале (0, 1].
  3. Если , где , перейти к шагу 4, иначе к шагу 5.
  4. Положить . Перейти к шагу 6.
  5. Положить .
  6. Если , то увеличить m на единицу и вернуться к шагу 2.
  7. Принять за реализацию .

Подытожим:

где [k] является целой частью k, а ξ сгенерирована по алгоритму, приведённому выше при δ = {k} (дробная часть k); Ui и Vl распределены как указано выше и попарно независимы.

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]


Bvn-small.png п о р       Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | Биномиальное | Геометрическое | Гипергеометрическое | Логарифмическое | Отрицательное биномиальное | Пуассона | Дискретное равномерное Мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Гиперэкспоненциальное | Распределение Гомпертца | Колмогорова | Коши | Лапласа | Логнормальное | Нормальное (Гаусса) | Логистическое | Накагами | Парето | Пирсона | Полукруговое | Непрерывное равномерное | Райса | Рэлея | Стьюдента | Трейси — Видома | Фишера | Хи-квадрат | Экспоненциальное | Variance-gamma Многомерное нормальное | Копула