K-функция , обычно обозначаемая
K
(
z
)
{\displaystyle K(z)}
гиперфакториала для комплексных чисел , подобно тому, как Гамма-функция является обобщением для факториала .
Формально, K-функция определяется, как
K
(
z
)
=
(
2
π
)
(
−
z
−
1
)
/
2
exp
[
(
z
2
)
+
∫
0
z
−
1
ln
(
t
!
)
d
t
]
.
{\displaystyle K(z)=(2\pi )^{(-z-1)/2}\exp \left[{\begin{pmatrix}z\\2\end{pmatrix}}+\int _{0}^{z-1}\ln(t!)\,dt\right].}
Также определяется в замкнутой форме:
K
(
z
)
=
exp
[
ζ
′
(
−
1
,
z
)
−
ζ
′
(
−
1
)
]
{\displaystyle K(z)=\exp \left[\zeta ^{\prime }(-1,z)-\zeta ^{\prime }(-1)\right]}
где ζ'(z ) обозначает производную дзета-функции Римана , ζ(a ,z ) — это дзета-функция Гурвица и
ζ
′
(
a
,
z
)
=
d
e
f
[
d
ζ
(
s
,
z
)
d
s
]
s
=
a
.
{\displaystyle \zeta ^{\prime }(a,z)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left[{\frac {d\zeta (s,z)}{ds}}\right]_{s=a}.}
K-функция связана с Гамма-функцией и с G-функцией Барнса ; для целых чисел n можно написать:
K
(
n
)
=
(
Γ
(
n
)
)
n
−
1
G
(
n
)
.
{\displaystyle K(n)={\frac {(\Gamma (n))^{n-1}}{G(n)}}.}
Также
K
(
n
+
1
)
=
1
1
2
2
3
3
⋯
n
n
.
{\displaystyle K(n+1)=1^{1}\,2^{2}\,3^{3}\cdots n^{n}.}
Для положительных аргументов принимает минимальное значение
0,879
786843
…
{\displaystyle 0{,}879786843\dots }
x
m
i
n
=
0,537
68886
…
.
{\displaystyle x_{\mathrm {min} }=0{,}53768886\dots .}
![{\displaystyle K(z)=(2\pi )^{(-z-1)/2}\exp \left[{\begin{pmatrix}z\\2\end{pmatrix}}+\int _{0}^{z-1}\ln(t!)\,dt\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4302d3c378d5cd4a16bbb2839841c5c81cbd5ac)
![{\displaystyle K(z)=\exp \left[\zeta ^{\prime }(-1,z)-\zeta ^{\prime }(-1)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82fbdf9734f7e2a7e05c26bd0bf87f4423791115)
![{\displaystyle \zeta ^{\prime }(a,z)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left[{\frac {d\zeta (s,z)}{ds}}\right]_{s=a}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff76d2f022a344cc7f5707de8ec29ecde8b1ded9)
