Дзета-функция Гурвица

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике Дзета-функция Гурвица, названная в честь Адольфа Гурвица, — это одна из многочисленных дзета-функций, являющихся обобщениями дзета-функции Римана. Формально она может быть определена степенным рядом для комплексных аргументов s, при Re(s) > 1, и q, Re(q) > 0:

Этот ряд является абсолютно сходящимся для заданных значений s и q. Дзета-функция Римана — это частный случай дзета-функции Гурвица при q=1.

Аналитическое продолжение[править | править вики-текст]

Дзета функция Гурвица допускает аналитическое продолжение до мероморфной функции, определённой для всех комплексных s, при s ≠ 1. В точке s = 1 она имеет простой полюс с вычетом равным 1. Постоянный член разложения в ряд Лорана в окрестности точки s = 1 равен:

,

где Γ(x) — это гамма-функция, и ψ(x) — это дигамма-функция.

Представления в виде рядов[править | править вики-текст]

Представление в виде сходящегося степенного ряда для q > −1 и произвольного комплексного s ≠ 1 было получено в 1930 году Гельмутом Хассе[1]


Этот ряд равномерно сходится на любом компактном подмножестве комплексной s-плоскости к целой функции. Внутренняя сумма может быть представлена в виде n-ой конечной разности для , то есть:

где Δ — оператор конечной разности. Таким образом

Интегральные представления[править | править вики-текст]

Дзета-функция Гурвица имеет интегральное представление в виде преобразования Меллина:


для Re(s)>1 и Re(q) >0.

Формула Гурвица[править | править вики-текст]

,

где

.

Это представление дзета-функции Гурвица верно для 0 ≤ x ≤ 1 и s>1. Здесь  — это полилогарифм.

Функциональное уравнение[править | править вики-текст]

Данное функциональное уравнение связывает значения дзета-функции Гурвицa слева и справа от прямой Re(s)=1/2 в комплексной s-плоскости. Для натуральных m и n, таких что m ≤ n:

верно для всех значений s.

Ряд Тейлора[править | править вики-текст]

Производная дзета-функции Гурвица по второму аргументу также выражается через дзета-функцию Гурвица:

Таким образом ряд Тейлора имеет вид:

Ряд Лорана[править | править вики-текст]

Разложение дзета-функции Гурвица в ряд Лорана может быть использовано для определения констант Стильтьеса (англ.), которые появляются в разложении:

Преобразование Фурье[править | править вики-текст]

Дискретное преобразование Фурье по переменной s дзета-функции Гурвица является хи-функцией Лежандра[2]

Связь с многочленами Бернулли[править | править вики-текст]

Определённая выше функция обобщает многочлены Бернулли:

.

С другой стороны,

В частности, при :

Связь с тета-функцией Якоби[править | править вики-текст]

Если  — это тета-функция Якоби, тогда

.

Эта формула верна для Re(s) > 0 и любого комплексного z, не являющегося целым числом. Для целого z=n формула упрощается:

.

где ζ(s) — дзета-функция Римана. Последнее выражение является функциональным уравнением для дзета-функция Римана.

Связь с L-функцией Дирихле[править | править вики-текст]

При рациональных значениях аргумента дзета-функция Гурвица может быть представлена в виде линейной комбинации L-функций Дирихле и наоборот. Если q = n/k при k > 2, (n,k) > 1 и 0 < n < k, тогда

при этом суммирование ведётся по всем характерам Дирихле по модулю k. И обратно

в частности верно следующее представление:

обобщающее

(Верно при натуральном q и ненатуральном 1 − qa.)

Рациональные значения аргументов[править | править вики-текст]

Дзета-функция Гурвица встречается в различных интересных соотношениях для рациональных значений аргументов.[2] В частности, для многочленов Эйлера :

и

,

Кроме того

,

верное для . Здесь и выражаются через хи-функциию Лежандра как

и

Приложения[править | править вики-текст]

Дзета-функция Гурвица возникает в различных разделах математики. Чаще всего встречается в теории чисел, где её теория является наиболее развитой. Также дзета-функция Гурвица встречается в теории фракталов и динамических систем. Дзета-функция Гурвица применяется в математической статистике, возникает в законе Ципфа. В физике элементарных частиц возникает в формуле Швингера[3], дающей точный результат для показателя рождения пар в уравнении Дирака для стационарного электромагнитного поля.

Частные случаи и обобщения[править | править вики-текст]

Дзета-функция Гурвица связяна с полигамма-функцией:

Дзета-функция Лерха обобщает дзета-функцию Гурвица:

то есть

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Helmut Hasse Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ-Reihe (нем.) // Mathematische Zeitschrift. — 1930. — Bd. 32, Nr. 1. — DOI:10.1007/BF01194645.
  2. 1 2 Djurdje Cvijovic, Jacek Klinowski Values of the Legendre chi and Hurwitz zeta functions at rational arguments (англ.) // Math. Comp.. — 1999. — No. 68. — P. 1623-1630.
  3. J. Schwinger On gauge invariance and vacuum polarization // Physical Review. — 1951. — Т. 82, № 5. — С. 664–679. — DOI:10.1103/PhysRev.82.664.

Литература[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]