Биалгебра

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Биалгебравекторное пространство над полем, которое одновременно является унитальной ассоциативной алгеброй и коунитальной коассоциативной коалгеброй, так что алгебраическая и коалгебраическая структуры согласованы. А именно, коумножение и коединица являются гомоморфизмами унитальной алгебры, или, что эквивалентно, умножение и единица алгебры являются морфизмами коалгебры (эти утверждения эквивалентны, поскольку они выражаются одними и теми же коммутативными диаграммами).

Гомоморфизм биалгебр — это линейное отображение, которое является одновременно гомоморфизмом соответствующих алгебр и коалгебр. Из симметрии коммутативных диаграмм видно, что определение биалгебры является самодвойственным, поэтому, если возможно определить двойственное пространство к векторному пространству, на котором строится биалгебра (что всегда возможно, если оно конечномерно), то оно автоматически является биалгеброй.

Определение

[править | править код]

Биалгеброй с умножением , единицей , коумножением и коединицей над полем называется алгебраическая структура, обладающая следующими свойствами:

  • является векторным пространством над полем ;
  • заданы умножение, то есть линейное отображение : над полем (или, что эквивалентно, полилинейное отображение : над полем ) и единица, то есть линейное отображение : , так что является унитальной ассоциативной алгеброй;
  • заданы коумножение, то есть линейное отображение : над полем , и коединица, то есть линейное отображение : , так что является коунитальной коассоциативной коалгеброй;
  • выполняются условия совместимости, выраженные следующими коммутативными диаграммами:
  1. согласованы умножение и коумножение [1]
    Bialgebra commutative diagrams
    где : является линейным отображением, определенным как для всех и в ,
  2. согласованы умножение и коединица
    Bialgebra commutative diagrams
  3. согласованы коумножение и единица [2]
    Bialgebra commutative diagrams
  4. согласованы единица и коединица
    Bialgebra commutative diagrams

Примечания

[править | править код]
  1. Dăscălescu, Năstăsescu & Raianu. Hopf Algebras: An introduction. — 2001. — P. 147 & 148. Источник. Дата обращения: 25 сентября 2021. Архивировано 25 сентября 2021 года.
  2. Dăscălescu, Năstăsescu & Raianu. Hopf Algebras: An introduction. — 2001. — P. 148. Источник. Дата обращения: 25 сентября 2021. Архивировано 25 сентября 2021 года.
  • Dăscălescu, Sorin; Năstăsescu, Constantin; Raianu, Șerban (2001), Hopf Algebras: An introduction, Pure and Applied Mathematics, vol. 235 (1st ed.), Marcel Dekker, ISBN 0-8247-0481-9.