Полилинейная алгебра

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Полилине́йная а́лгебра — раздел алгебры, обобщающий понятия линейной алгебры на функции нескольких переменных, линейные по каждому из аргументов.

Основные определения[править | править вики-текст]

Основным объектом полилинейной алгебры является полилинейное (-линейное) отображение:

,

где и  – векторные пространства над определённым полем . Условие -линейности означает, строго говоря, что для каждого семейство отображений

,

зависящее от переменных как от параметров, состоит из линейных отображений. Можно также определить -линейное отображение рекурсивно (по индукции), как линейное отображение из в векторное пространство -линейных отображений.

  • 2-линейное отображение называется билинейным, 3-линейное — трилинейным. Если совпадает с полем то отображение называется полилинейной формой.
  • Полилинейная форма называется симметричной, если её значение не изменятся при перестановке любых двух аргументов, и следовательно, при любой перестановке всех аргументов.
  • Полилинейная форма называется кососимметричной (антисимметричной), если её значение изменятся на противоположное при перестановке любых двух аргументов. Следовательно, при перестановке всех аргументов ей значение не изменятся, если перестановка чётная, и изменятся на противоположное, если перестановка нечётная.
  • Теорема:[1] для каждого существует единственная (с точностью до умножения на константу — элемент поля ) кососимметричная -линейная форма . Это — определитель матрицы, составленной из векторов .

Квадратичные и билинейные формы[править | править вики-текст]

Алгебраические формы (однородные многочлены на векторных пространствах, задаваемые однородными многочленами от координат вектора) являются важными объектами изучения в линейной алгебре. Наибольший интерес из них представляют квадратичные формы и билинейные формы, но также изучаются и формы высших степеней, полилинейные формы, поликвадратичные формы, некоторые специальные виды форм (полуторалинейные, эрмитовы). Основными вопросами при изучении алгебраических форм являются законы изменения коэффициентов при линейных преобразованиях (заменах координат), способы приведения к каноническому виду посредством линейных преобразований и взаимопредставление форм.[2]

Квадратичная форма — объект линейной алгебры, фигурирующий во многих разделах математики, в частности, в теории чисел, теории групп (ортогональная группа), дифференциальной геометрии, алгебрах Ли (киллингова форма[en]), определяемый как однородный многочлен второй степени в основном поле от переменных ( — размерность рассматриваемого пространства). Квадратичная форма может быть представлена как матрица , которая (при основном поле характеристики, отличной от 2) является симметрической, а каждой симметрической матрице соответствует квадратичная форма, соответственно, над квадратичными формами вводятся те же операции, что и над матрицами (умножение на скаляр, сложение), квадратичные формы могут быть приведены к каноническому виду — диагональной форме:

,

(одним из практических способов приведения является метод Лагранжа) и рассматривается как класс эквивалентности всех квадратичных форм, приводимых к диагональной форме с соответствующими коэффициентами, внутри таких классов эквивалентности сохраняются ранг и сигнатура.[3]

Рассмотрение пары линейных форм (однородных многочленов первой степени) как единой функции от двух систем переменных (в терминах линейных пространств — над декартовым произведением двух векторных пространств, в наиболее общем случае — над произведением левого и правого унитарных модулей над одним кольцом с единицей) приводит к понятию билинейной формы (с точки зрения тензорной алгебры, билинейная форма рассматривается как тензор ранга ). Как и квадратичная форма, билинейная может быть выражена матрицей, притом всякая билинейная форма может быть представлена квадратичной:

притом, в случае, когда векторное пространство определено над полем характеристики отличной от 2, взаимно единственным образом[4].

Ввиду особой важности (как для самой линейной алгебры, так и для приложений) наиболее детально изучены свойства симметричных и кососимметричных билинейных форм.

Другие примеры[править | править вики-текст]

Формализма


Объектов


Операций
  • Тензорное произведение — создаёт линейное пространство, но отображения, линейные на произведении, соответствуют полилинейным отображениям на исходных пространствах

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — гл. II, стр. 52 — М.: Физматлит, 2009.
  2. Мальцев, 1970, с. 254.
  3. Мальцев, 1970, с. 262—270.
  4. Квадратичная форма — статья из Математической энциклопедии. Малышев А. В.

Литература[править | править вики-текст]

Полилинейная алгебра — статья из Математической энциклопедии. А. Л. Онищик