Квазиклассическое приближение

Квазикласси́ческое приближе́ние, также известное как метод ВКБ (Ве́нтцеля — Кра́мерса — Бриллюэ́на) — пример квазиклассического вычисления в квантовой механике, в котором волновая функция представлена как показательная функция, квазиклассически расширенная, а затем или амплитуда, или фаза медленно изменяются. Метод назван в честь физиков Г. Вентцеля, Х. А. Крамерса и Л. Бриллюэна, которые развили его в 1926 году независимо друг от друга.

В 1923 году математик Гарольд Джеффри разработал общий метод приближённого решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка, который включает и решение уравнения Шрёдингера. Но, так как уравнение Шрёдингера появилось два года спустя, ни Вентцель, ни Крамерс, ни Бриллюэн, очевидно, не знали эту более раннюю работу. В некотором смысле исторически квазиклассическое приближение предшествовало методу ВКБ и понятию волновой функции вообще: так называемая «старая квантовая теория» изучала тот же предельный случай эмпирически в 1900—1925 гг.

Наиболее частое применение квазиклассического решения — приближённые формулы для нахождения энергий уровней в квантовых ямах и вероятностей прохождения туннельных барьеров в случаях, когда получение точного решения невозможно.

Вид квазиклассического решения

Одномерное стационарное уравнение Шрёдингера записывается как

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)+V(x)\Psi (x)=E\Psi (x)$,

где $\Psi$ — искомая волновая функция, $V$ — потенциальная энергия, $x$ — координата, $m$ — масса частицы, $E$ — её полная энергия, $\hbar$ — редуцированная постоянная Планка.

Квазиклассический подход даёт для такого уравнения приближённое решение

$\Psi (x)=\left({\frac {\text{const}}{2m[E-V(x)]}}\right)^{1/4}\exp \left(\pm {\frac {i}{\hbar }}\int ^{x}\mathrm {d} {\tilde {x}}{\sqrt {2m(E-V({\tilde {x}}))}}\right)$,

где $i$ — мнимая единица, а знак $\pm$ отражает наличие двух вариантов. Нижний предел интеграла здесь и далее в подобных случаях можно взять произвольно ввиду наличия неопределённых предэкспоненциальных констант.

Математический вывод

Приведённое выше уравнение Шрёдингера можно переписать в форме

${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)\Psi (x)$.

Мы представим волновую функцию в виде экспоненциальной функции другой неизвестной функции $\Phi$:

$\Psi (x)=\exp(\Phi (x))$,

тогда $\Phi$ должна удовлетворять уравнению

$\Phi ''(x)+\left[\Phi '(x)\right]^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)$,

где $\Phi '$ означает производную от $\Phi$ по $x$. Разделим $\Phi '(x)$ на действительную и мнимую части, вводя действительные функции $A$ и $B$:

$\Phi '(x)=A(x)+iB(x)$.

Тогда амплитуда волновой функции $\exp(\int ^{x}A({\tilde {x}})d{\tilde {x}})$, а фаза ${\int ^{x}B({\tilde {x}})d{\tilde {x}}}$.

Из уравнения Шрёдингера следуют два уравнения, которым должны удовлетворять эти функции:

$A'(x)+A(x)^{2}-B(x)^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)\;$

$B'(x)+2A(x)B(x)=0.\;$

Мы хотим рассмотреть квазиклассическое приближение, чтобы решить эти уравнения. Это означает, что мы разложим каждую функцию как ряд по степеням $\hbar$. Из уравнений мы можем видеть, что степенной ряд должен начинаться со слагаемого $\hbar ^{-1}$, чтобы удовлетворить действительной части уравнения. Но, поскольку нам нужен хороший классический предел, мы также хотим начать разложение со столь высокой степени постоянной Планка, насколько это возможно.

$A(x)={\frac {1}{\hbar }}\sum _{i=0}^{\infty }\hbar ^{i}A_{i}(x),\qquad B(x)={\frac {1}{\hbar }}\sum _{i=0}^{\infty }\hbar ^{i}B_{i}(x)$

С точностью до первого порядка разложения уравнения запишутся в виде

$A_{0}(x)^{2}-B_{0}(x)^{2}=2m\left(V(x)-E\right)$

$A_{0}(x)B_{0}(x)=0$

Если амплитуда меняется слабее, чем фаза, то можно положить $A_{0}(x)=0$ и получить

$B_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}$

Это верно только если полная энергия больше потенциальной энергии. После аналогичных вычислений для следующего порядка малости получим

$\Psi (x)\approx C{\frac {e^{i(\int ^{x}d{\tilde {x}}{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(E-V({\tilde {x}})\right)}}+\theta )}}{\sqrt[{4}]{{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(E-V(x)\right)}}}$

С другой стороны, если фаза меняется медленно по сравнению с амплитудой, мы положим $B_{0}(x)=0$ и получим

$A_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(V(x)-E\right)}}$.

Это верно, если потенциальная энергия больше полной. Для следующего порядка малости получим

$\Psi (x)\approx {\frac {C_{+}e^{+\int ^{x}d{\tilde {x}}{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V({\tilde {x}})-E\right)}}}+C_{-}e^{-\int ^{x}d{\tilde {x}}{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V({\tilde {x}})-E\right)}}}}{\sqrt[{4}]{{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}$

В выписанных выражениях $C$ со значком или без значка, а также $\theta$ обозначают произвольные константы.

Из-за знаменателя оба приближённых решения расходятся около классической точки поворота, где $E=V(x)$, и не могут быть правильными. Мы имеем приблизительные решения далеко от потенциального барьера и ниже потенциального холма. Далеко от потенциального барьера частицы ведут себя подобно свободной волне — фаза осциллирует. Ниже потенциального барьера частица подвергается экспоненциальным изменениям в амплитуде.

Чтобы полностью решить задачу, необходимо найти способ избежать расходимости, связать коэффициенты и получить глобальное приблизительное решение. Обозначим классическую точку поворота через $x_{1}$. Вблизи $E=V(x_{1})$, можно разложить ${\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)$ в ряд:

${\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)=U_{1}(x-x_{1})+U_{2}(x-x_{1})^{2}+\cdots$.

Для первого порядка имеем уравнение

${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)=U_{1}(x-x_{1})\Psi (x)$.

Решение его вблизи точек поворота выглядит следующим образом:

$\Psi (x)={\sqrt {x-x_{1}}}\left(C_{+}J_{+{\frac {1}{3}}}\left({\frac {2}{3}}{\sqrt {U_{1}}}(x-x_{1})^{\frac {1}{3}}\right)+C_{-}J_{-{\frac {1}{3}}}\left({\frac {2}{3}}{\sqrt {U_{1}}}(x-x_{1})^{\frac {1}{3}}\right)\right)$,

где $J$ — функция Бесселя с индексом $\pm 1/3$.

Используя известные из математических справочников асимптотики данного решения, можно найти отношения между $C,\theta$ и $C_{+},C_{-}$:

$C_{+}={\frac {1}{2}}C\cos {\left(\theta -{\frac {\pi }{4}}\right)},\qquad C_{-}=-{\frac {1}{2}}C\sin {\left(\theta -{\frac {\pi }{4}}\right)}$.

Этим построение глобального решения завершается.

Формулы для барьера и ямы

Частица с полной энергией $E$ ниже максимальной высоты $V_{max}$ потенциального барьера в классической физике неспособна пройти данный барьер. Однако в квантовой механике, благодаря волновым свойствам частицы, такое прохождение становится возможным и носит название туннельного эффекта. В квазиклассическом приближении вероятность прохождения $T$ описывается формулой

$T\approx \exp \left(-{\frac {2}{\hbar }}\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {2m(V(x)-E)}}\,dx\right)$,

где $x_{1}$, $x_{2}$ — точки поворота, фиксирующие границы классически недоступной области $V(x)>E$, то есть это координаты, в которых потенциальная энергия $V(x)$ равняется полной.

Формула получается на базе выписанного ранее выражения для $\Psi$, учитывая, что $T\sim |\Psi (x_{2})|^{2}/|\Psi (x_{1})|^{2}$, откуда понятны и именно такая постановка границ в интеграле для $T$, и появление там двойки перед интегралом. Предэкспоненциальный множитель в обеих точках поворота бесконечен, но при делении стремится к некоторому близкому к единице пределу, которым чаще всего пренебрегают.

При анализе туннелирования в реальных структурах формулу для $T$ инкорпорируют в более сложные формулы для туннельного тока.

Если частица пребывает в квантовой яме с профилем $V(x)$, уровни энергии $E_{n}$ в данной яме квазиклассически рассчитываются из уравнения

$\int _{x_{1}(E_{n})}^{x_{2}(E_{n})}{\sqrt {2m(E_{n}-V(x))}}\,dx=\pi \hbar \left(n+{\frac {1}{2}}\right),\quad n=0,\,1,\,2,\ldots$.

Такое уравнение требует численного решения, но это проще, чем численно решать само уравнение Шрёдингера, и может быть осуществлено методами итераций; границы интегрирования зависят от искомой энергии и находятся из условия $V(x_{1|2})=E$ ($E$ — «пробная» энергия на шаге итерации).

Эта формула для уровней ямы получается с использованием квазиклассической функции $\Psi (x)$.

Литература

• Покровский В. Л. Квазиклассическое приближение. Архивная копия от 16 июня 2011 на Wayback Machine // Физическая энциклопедия. — Т. 2. — М.: СЭ, 1990. — С. 252-255.
• ВКБ-метод. Архивная копия от 15 марта 2012 на Wayback Machine // Физическая энциклопедия. — Т. 1. — М.: СЭ, 1988. — С. 285.
• Фрёман H., Фрёман П. У. ВКБ-приближение. — М.: Мир, 1967. — 166 с.
• Маслов В. П., Федорюк М. В. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. — М.: Наука, 1976. — 296 с.