Диффеоморфизм Аносова

Диффеоморфизм Аносова — диффеоморфизм $f\colon M\rightarrow M$, гиперболичный на всём многообразии $M$ — отображение с устойчивой динамикой относительно малых возмущений. Введён в теорию динамических систем Дмитрием Аносовым.

Гиперболичность на многообразии $M$ означает, что существует разложение касательного расслоения $TM$ в прямую сумму двух непрерывных подрасслоений $E^{u}$ и $E^{s}$, инвариантных относительно динамики, причём на $E^{u}$ динамика экспоненциально растягивает, а на $E^{s}$ экспоненциально сжимает:

$\|f^{n}(v)\|\leqslant c_{1}\,\lambda ^{n}\|v\|\quad \forall n\in \mathbb {N} ,\,v\in E^{s}$,

$\|f^{n}(v)\|\geqslant c_{2}\,\mu ^{n}\|v\|\quad \forall n\in \mathbb {N} ,\,v\in E^{u}$,

где $c_{1},c_{2}>0$ и $\mu >1>\lambda >0$ — константы.

Диффеоморфизмы Аносова структурно устойчивы: для любого аносовского диффеоморфизма $f$ существует такая его окрестность в пространстве диффеоморфизмов класса $C^{1}$, любой диффеоморфизм $g$ из которой сопряжён с $f$ некоторым гомеоморфизмом $h$: $f\circ h=h\circ g$. Иными словами, динамика малого возмущения $f$ отличается от самого $f$ только (непрерывной) заменой координат.

Часть определения, относящаяся к растяжению, может быть переписана как сжатие в обратном времени:

$\|f^{-n}(v)\|\leqslant c_{3}\,\mu ^{-n}\|v\|\quad \forall n\in \mathbb {N} ,\,v\in E^{u}$.

Наиболее известным примером диффеоморфизма Аносова является действие отображения $\left({\begin{smallmatrix}2&1\\1&1\end{smallmatrix}}\right)$ на двумерном торе $\mathbb {T} ^{2}=\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}$. Более общо: если матрица $A\in SL_{n}(\mathbb {Z} )$ не имеет собственных значений, равных по модулю единице, то спуск действия A на тор $\mathbb {T} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n}$ (корректно определённый, поскольку $A$ сохраняет $\mathbb {Z} ^{n}$) будет диффеоморфизмом Аносова.

Литература

• В. И. Арнольд. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1978.
• Каток А. Б., Хассельблат Б.. Введение в современную теорию динамических систем с обзором последних достижений / Пер. с англ. под ред. А. С. Городецкого. — М.: МЦНМО, 2005. — 464 с. — ISBN 5-94057-063-1.