Локальная дзета-функция

Конгруэнц-дзета-функция — прототип для построения важной L-функции Хассе-Вейля, ряд вида

$Z(V,T)=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {N_{k}}{k}}T^{k}\right)$,

построенный на последовательности числа точек $N_{k}$ аффинного или проективного многообразия $V$ в конечных полях.

Локальная дзета-функция $\zeta (X,s)=Z(X,p^{-s})$. Для неё существует аналог гипотезы Римана.

Определение

Пусть $V$ — аффинное или проективное многообразие над конечным полем $\mathbb {F} _{q}$. Конгруэнц-дзета-функция многообразия $V$ над $\mathbb {F} _{q}$ определяется как формальный степенной ряд

$Z(V/\mathbb {F} _{q},T)=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {N_{k}}{k}}T^{k}\right)$,

где $\exp(u)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {u^{k}}{k!}}$, а $N_{k}$ — число точек $V$, лежащих в $\mathbb {F} _{q^{k}}$. Числа $N_{k}$ конечны в силу конечности любого аффинного или проективного многообразия конечной размерности над конечным полем.

Локальной дзета-функцией называется функция $\zeta (X,s)=Z(X,p^{-s})$, здесь $p$ — характеристика поля $\mathbb {F} _{q}$, $s\in \mathbb {C}$ — комплексная переменная.

Примеры

Возьмем уравнение $x=0$, геометрически это означает, что $V$ — это просто точка. В этом случае все $N_{k}=1$. Тогда

$Z(V,t)=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {T^{k}}{k}}\right)=\exp(-\ln(1-T))={\frac {1}{1-T}}$

Пусть $V$ — проективная прямая $0x=0$ над $F$. Если $F=\mathbb {F} _{q^{k}}$, то $V$ имеет $N_{k}=q^{k}+1$ точку: все точки поля и бесконечную точку. Следовательно

$Z(V,T)=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {(qT)^{k}}{k}}+{\frac {T^{k}}{k}}\right)=\exp \left(-\ln(1-qT)-\ln(1-T)\right)={\frac {1}{(1-T)(1-qT)}}$

Свойства

• $Z(X,T)$ представляется в виде бесконечного произведения

$Z(X,T)=\prod \limits _{x}(1-T^{\deg(x)})^{-1},$

где $x$ пробегает все замкнутые точки $X$, а $\deg x$ — степень $x$. В случае, если $X=V$, которое обсуждалось выше, то замкнутые точки — это классы эквивалентности $x=[P]$ точек $P\in {\overline {V}}$, где две точки эквивалентны, если они сопряжены над полем $F$. Степень $x$ — это степень расширения поля $F$, порождённого координатами $P$. Тогда логарифмическая производная бесконечного произведения $Z(X,T)$ будет равна производящей функции

$N_{1}+N_{2}t^{1}+N_{3}t^{2}+\cdots \,$.

• Если $E$ — эллиптическая кривая, то в этом случае дзета-функция равна

$Z(E/\mathbb {F} _{q},T)={\frac {1-2a_{E}T+qT^{2}}{(1-T)(1-qT)}}$

• Если $(\forall k)N_{k}<CA^{k}$, то $Z(T)$ сходится в открытом круге радиуса $R=A^{-1}$.

• Если $N_{k}=N_{k}^{(1)}+N_{k}^{(2)}$, причем $Z(T),Z^{(1)}(T),Z^{(2)}(T)$ — соответствующие дзета-функции, то $Z(T)=Z^{(1)}(T)Z^{(2)}(T)$.

• Если $N_{k}=\beta _{1}^{k}+...+\beta _{t}^{k}-\alpha _{1}^{k}-...-\alpha _{s}^{k}$, то $Z(T)={\frac {(1-\alpha _{1}T)...(1-\alpha _{s}T)}{(1-\beta _{1}T)...(1-\beta _{t}T)}}$.

Применение

L-функция Хассе-Вейля определяется через конгруэнц-дзета-функцию следующим образом

$L(V,s)={\dfrac {\zeta (s)\zeta (s-1)}{\prod \limits _{p}Z(V/\mathbb {F} _{p},p^{-s})}}$

Гипотеза Римана для кривых над конечными полями

Если $C$ — проективная неособая кривая над $F$, то можно показать, что

$Z(C,T)={\frac {P(t)}{(1-T)(1-qT)}}\ ,$

где $P(t)$ — многочлен степени $2g$, где $g$ — род кривой $C$. Представим

$P(t)=\prod \limits _{i=1}^{2g}(1-\omega _{i}t)\ ,$

тогда гипотеза Римана для кривых над конечными полями утверждает, что

$|\omega _{i}|=q^{1/2}$

Для локальной дзета-функции это утверждение равносильно тому, что вещественная часть корней $\zeta (X,s)$ равна $1/2$.

К примеру, для эллиптической кривой получаем случай, когда существуют ровно 2 корня, и тогда можно показать, что абсолютные значения корня равны ${\sqrt {q}}$. Этот случай эквивалентен теореме Хассе об оценке числа точек кривой в конечном поле.

Общие формулы для дзета-функции

Из формулы следа Лефшеца для морфизма Фробениуса получается, что

$Z(X,T)=\prod \limits _{i=0}^{2\dim X}\det(1-T\operatorname {Frob} _{q}|H_{c}^{i}({\overline {X}},{\mathbb {Q} }_{\ell }))^{(-1)^{i+1}}.$

Здесь $X$ — отделимая схема конечного типа над конечным полем $\mathbb {F} _{q}$, and $\operatorname {Frob} _{q}$ — геометрическое действие Фробениуса на $\ell$-адической этальной когомологии с компактным носителем ${\overline {X}}$. Это показывает, что данная дзета-функция является рациональной функцией $T$.

Литература

• Айерленд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — М.: Мир, 1987. — 428 с.
• Коблиц Н. Введение в эллиптические кривые и модулярные формы. — М.: Мир, 1988. — 319 с.
• Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М.: Мир, 1981. — 597 с.

См. также

• Дзета-функции
• Гипотезы Вейля
• Эллиптическая кривая
• Этальные когомологии