Дзета-функция Хассе — Вейля

Дзета-функция Хассе-Вейля — аналог дзета-функции Римана, который строится более сложным образом из количества точек многообразия в конечном поле. Это комплексная аналитическая функция, для эллиптических кривых её поведение около точки 1 тесно связано с группой рациональных точек этой эллиптической кривой.

Дзета-функция Хассе-Вейля как глобальная L-функция

Дзета-функция Хассе-Вейля, присоединенная к алгебраическому многообразию $V$, определённому над полем алгебраических чисел $K$, является одним двух наиболее важных типов L-функций. Такие L-функции называются глобальными, поскольку они определяются как произведение Эйлера локальных дзета-функций. Они образуют один из двух основных классов глобальных L-функций, а другой — L-функции, связанные с автоморфными представлениями. Гипотетически предполагается, что существует только один существенный тип глобальной L-функции с двумя описаниями (одно из них исходит из алгебраического многообразия, другое — из автоморфного представления); это было бы обширным обобщением гипотезы Таниямы-Симуры, самого глубокого и недавнего результата (на 2009-й год) в теории чисел.

Описание дзета-функции Хассе-Вейля с точностью до конечного числа множителей его эйлерового произведения относительно просто. Это получилось из начальных рассмотрений Хассе и Вейля, мотивированными случаем, когда $V$ — это единственная точка, а дзета-функция Римана.

Взяв случай $K=\mathbb {Q}$ и $V$ — неособое проективное многообразие, мы можем для почти всех простых чисел $p$ рассмотреть редукцию $V$ по модулю $p$, то есть алгебраическое многообразие $V_{p}$ над конечным полем $\mathbb {F} _{p}$. Для почти всех $p$ $V_{p}$ будет неособым. Мы определяем $Z_{V/\mathbb {Q} }(s)$как ряд Дирихле комплексной переменной $s$, который является бесконечным произведением по всем простым числам локальных дзета-функций $\zeta _{V,p}(p^{-s})$. Тогда $Z(s)$, согласно нашему определению, хорошо определено только с точностью до умножения на рациональную функцию от в конечного числа аргументов вида $p^{-s}$.

Так как эта неопределённость относительно безвредна и имеет мероморфное продолжение всюду, то существует смысл, в котором свойства $Z(s)$ существенно не зависят от него. В частности, хотя точная форма функционального уравнения для $Z(s)$, определенно будет зависеть от пропущенных множителей, но существование такого функционального уравнения от этих множителей зависеть не будет.

Более четкое определение дзета-функции Хассе-Вейля стало возможным благодаря развитию этальных когомологий; они аккуратно объясняют, что делать с недостающими множителями с плохой редукцией. В соответствии с общими принципами, видимыми в теории ветвления, простые с плохой редукцией несут хорошую информацию (теория кондуктора). Это проявляется в теории эталей в критерий Огга-Нерона-Шафаревича для хорошей редукции, а именно, что в определенном смысле существует хорошая редукция во всех простых числах $p$, для которых представление Галуа $\rho$ на этальной когомологии группы $V$ является неразветвлённым. Для них определение локальной дзета-функции можно восстановить в терминах характеристического многочлена $\rho (\operatorname {Frob} (p)),$ где $\operatorname {Frob} (p)$ — эндоморфизм Фробениуса для $p$. Что происходит при разветвленном $p$, так это то, что $\rho$ нетривиально в группе инерции $I(p)$. Для таких простых определение должно быть исправлено, взяв наибольшее частное от представления $\rho$, на котором группа инерции действует тривиальным представлением. С этим уточнением определение $Z(s)$ может быть успешно модернизировано с почти всех $p$ до всех $p$, участвующих в произведении Эйлера. Следствия из функционального уравнения были разработаны Серром и Делинем в конце 1960-х годов; само функциональное уравнение вообще не доказано.

Пример: эллиптическая кривая над полем рациональных чисел

Пусть $E$ — эллиптическая кривая над $\mathbb {Q}$ c кондуктором $N$, а $p$ — произвольное простое число. Тогда $E$ имеет хорошую редукцию при всех $p$, не делящих $N$, имеет мультипликативную редукцию в случае, если $p$ делит $N$, но $p^{2}$ не делит $N$, и имеет аддитивную редукцию в прочих случаях (то есть если $p^{2}$ делит $N$). Тогда дзета-функция Хассе-Вейля от $E$ принимает вид

$Z_{E/\mathbb {Q} }(s)={\frac {\zeta (s)\zeta (s-1)}{L(s,E)}}.\,$

Здесь $\zeta (s)$ — обычная дзета-функция Римана, а $L(s,E)$ называется L — функцией $E/\mathbb {Q}$, которая имеет вид

$L(s,E)=\prod \limits _{p}L_{p}(s,E)^{-1}\,$

где для данного $p$,

$L_{p}(s,E)={\begin{cases}(1-a_{p}p^{-s}+p^{1-2s}),&{\text{ если }}p\nmid N\\(1-a_{p}p^{-s}),&{\text{ если }}p\mid N{\text{ и }}p^{2}\nmid N\\1,&{\text{ если }}p^{2}\mid N\end{cases}}$

где, в случае хорошего редукции $a_{p}=p+1-{\text{число точек в }}E{\bmod {p}}$, а в случае мультипликативной редукции $a_{p}=\pm 1$ в зависимости от того, разделен ли $E$ или нерасщепленной мультипликативной редукцией в $p$.

Гипотеза Хассе-Вейля

Гипотеза Хассе-Вейля утверждает, что дзета-функция Хассе-Вейля должна аналитически продолжаться на мероморфную функцию на всю комплексную плоскость и должна удовлетворять функциональному уравнению, аналогичному функциональному уравнению для дзета-функции Римана. Для эллиптических кривых над рациональными числами гипотеза Хассе-Вейля следует из теоремы модулярности.

См. также

• Арифметическая дзета-функция

Литература

• Коблиц Н. Введение в эллиптические кривые и модулярные формы = Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms. — Новокузнецк: ИО НФМИ, 2000. — С. 99. — 312 с. — ISBN 5-8032-3325-0.
• [Сб. работ под редакцией Дж.Берштайна и Ст.Гелбарта Введение в программу Ленглендса] = An Introduction to the Langlands Program. — Москва, Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2008. — С. 118. — 368 с. — ISBN 978-5-93972-697-9.