Обращение интеграла Лапласа

Пусть функция $F$ комплексного переменного $p=x+iy$ удовлетворяет следующим условиям:

1. $F$ — аналитическая в области $\mathop {\mathrm {Re} } \,p>a$
2. в области $\mathop {\mathrm {Re} } \,p>a$ $F\to 0$ при $|p|\to +\infty$ равномерно относительно $\arg p$
3. для всех $\mathop {\mathrm {Re} } \,p>a$ сходится интеграл $\int \limits _{x-i\infty }^{x+i\infty }\!|F(p)|\,dy$

Тогда функция $F$ при $\mathop {\mathrm {Re} } \,p>a$ является изображением функции $f$ действительной переменной $t$, которую можно найти по формуле

$f(t)={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{x-i\infty }^{x+i\infty }\!e^{pt}F(p)\,dp,\quad x>a$

Эта формула называется формулой Меллина, а интеграл — интегралом Меллина (названы в честь финского математика Ялмара Меллина). Во многих случаях интеграл Меллина может быть вычислен с помощью вычетов. А именно, если функция $F$, заданная в области $\mathop {\mathrm {Re} } \,p>a$, может быть аналитически продолжена на всю плоскость комплексного переменного с конечным числом особых точек $p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}$ и её аналитическое продолжение удовлетворяет при $\mathop {\mathrm {Re} } \,p<a$ условиям леммы Жордана, то

$f(t)=\sum _{k=1}^{n}\mathop {\mathrm {res} } _{p=p_{k}}(e^{pt}F(p))$

См. также

• Первая теорема разложения
• Вторая теорема разложения