Поверхность Эннепера

кусок поверхности Эннепера

Поверхность Эннепера — определённый тип самопересекающейся минимальной поверхности.

Рассматривалась Альфредом Эннепером в 1864 году.

Уравнения

• Поверхность Эннепера может быть описана параметрически как

  $x=u(1-u^{2}/3+v^{2})/3,$

  $y=-v(1-v^{2}/3+u^{2})/3,$

  $z=(u^{2}-v^{2})/3.$

• Параметризация Вейерштрасса — Эннепера задаётся $f(z)=1$ и $g(z)=z$.

• Является множеством нулей многочлена степени 9:

$64z^{9}-128z^{7}+64z^{5}-702x^{2}y^{2}z^{3}-18x^{2}y^{2}z+144(y^{2}z^{6}-x^{2}z^{6})+$

${}+162(y^{4}z^{2}-x^{4}z^{2})+27(y^{6}-x^{6})+9(x^{4}z+y^{4}z)+48(x^{2}z^{3}+y^{2}z^{3})-$

${}-432(x^{2}z^{5}+y^{2}z^{5})+81(x^{4}y^{2}-x^{2}y^{4})+240(y^{2}z^{4}-x^{2}z^{4})-135(x^{4}z^{3}+y^{4}z^{3})=0.$

Свойства

• Касательная плоскость в точке с заданными параметрами $(u,v)$ в форме $a+bx+cy+dz=0$:

  $a=-(u^{2}-v^{2})(1+u^{2}/3+v^{2}/3),$

  $b=6u,$

  $c=6v,$

  $d=-3(1-u^{2}-v^{2}).$

  • Коэффициенты удовлетворяют уравнению 6-й степени

    $162a^{2}b^{2}c^{2}+6b^{2}c^{2}d^{2}-4(b^{6}+c^{6})+54(ab^{4}d-ac^{4}d)+81(a^{2}b^{4}+a^{2}c^{4})+$

    ${}+4(b^{4}c^{2}+b^{2}c^{4})-3(b^{4}d^{2}+c^{4}d^{2})+36(ab^{2}d^{3}-ac^{2}d^{3})=0.$

• Якобиан $J$, гауссова кривизна $K$ и средняя кривизна $H$:

$J=(1+u^{2}+v^{2})^{4}/81,$

$K=-(4/9)/J,$

$H=0.$

• Полная кривизна равна $-4\pi$.
  • Полная минимальная поверхность в $\mathbb {R} ^{3}$ с полной кривизной $-4\pi$ является либо катеноидом, либо поверхностью Эннепера.

Вариации и обобщения

Допускает обобщение с симметриями вращения более высокого порядка с помощью параметризации Вейерштрасса — Эннепера $f(z)=1,g(z)=z^{k}$ для целого числа $k>1$.

Внешние ссылки

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Enneper surface", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Enneper's Surface
• The Generalized Enneper's Surfaces // The Scientific Graphics Project