Позином

Позином это расширение понятия полином как суммы мономов с помощью расширения понятия моном. Из свойств таких обобщённых мономов следует ограничение области определения функции, задаваемой позиномом, на строго положительные значения.

Определение

Позином — обобщённый полином вида

$g(x)=\sum \limits _{i=1}^{n}u_{i}(x)=\sum \limits _{i=1}^{n}c_{i}\prod \limits _{j=1}^{m}{x_{j}}^{a_{ij}},\quad x_{j}>0,\ c_{i}>0,\ a_{ij}\in \mathbb {R} .$ ,

где $u_{i}(x),\ i={\overline {1,n}}$ — мономы.

Пример

$g(x)=0.25x^{4}+x^{-1.5}+2x^{9}.$

Свойства

• если $g(x)$ — позином, $\lambda >0$ — константа, то $\lambda g(x)$ — позином,
• если $f(x),g(x)$ — позиномы, то $f(x)+g(x)$ — тоже позином,
• если $f(x),g(x)$ — позиномы, то $f(x)g(x)$ — тоже позином.

Таким образом, множество позиномов является, как и множество полиномов, кольцом.

Поскольку мономы - частный случай позиномов, множество позиномов является, также, алгеброй над кольцом полиномов.

• если $g(x)$ — позином, $u(x)$ — моном, то $g(x)/u(x)$ - позином,
• если $g(x)$ — позином, то ${g(x)}^{k}\ (k>0,$ целое$)$ — позином.

Приложения

Позиномы являются базовым понятием в геометрическом программировании. С помощью позиномов описываются и решаются задачи из широкого круга математических проблем, в частности к нему относятся: оптимальное планирование, оптимальное управление, экономические задачи и расчёт рисков, кодирование и др.

Литература

• Р. Даффин, Э. Питерсон, К. Зенер. Геометрическое программирование. — М.: Мир, 1972. — 311 с.