Полная категория

Категория называется полной в малом, если в ней любая малая диаграмма имеет предел. Двойственное понятие — кополная в малом категория, то есть та, в которой любая малая диаграмма имеет копредел. Аналогично определяется конечная полнота и вообще α-полнота для любого регулярного кардинала α. Из них всех наиболее употребимой является полнота в малом, поэтому категории, полные в малом, называют просто полными. Существование пределов вообще всех (не обязательно малых) диаграмм оказывается слишком сильным условием, так как такая категория с необходимостью была бы предпорядком, между любыми двумя её объектами было бы не более одного морфизма.

Категория, являющаяся одновременно полной и кополной, называется биполной.

Более слабое свойство категории — конечная полнота. Категория называется конечно полной, если в ней существуют все конечные пределы (то есть пределы всех диаграмм, индексированных конечным множеством). Аналогично определяются конечно кополные категории.

Примеры

• Следующие категории биполны:
  • категория множеств ${\mathcal {S}}et$;
  • категория групп ${\mathcal {G}}rp$;
  • категория колец ${\mathcal {R}}ing$;
  • категория абелевых групп ${\mathcal {A}}b$;
  • категория топологических пространств ${\mathcal {T}}op$;
  • категория компактных хаусдорфовых пространств ${\mathcal {C}}omp{\mathcal {H}}$;
  • категория малых категорий ${\mathcal {C}}at$;
• Следующие категории конечно биполны, но не являются полными или кополными:
  • категория конечных множеств $f{S}et$;
  • категория конечномерных векторных пространств над полем $K$ $fd-{\mathcal {V}}ect_{K}$;
  • категория конечных групп $f{\mathcal {G}}rp$;
• Вообще, если $\mathrm {Mod} _{\mathcal {T}}$ — категория моделей некоторой алгебраической теории ${\mathcal {T}}$, то $\mathrm {Mod} _{\mathcal {T}}$ полна и кополна, так как она рефлективна в $\mathrm {Func} ({\mathcal {T}},{\mathcal {S}}et)$. Напомним, что алгебраическая теория допускает только условия на операции, являющиеся тождествами (никаких кванторов!). Скажем, категория полей не является категорией моделей алгебраической теории, поэтому предыдущее утверждение к ней неприменимо. Она не является полной или кополной.
• (теорема о пределе с параметром) Если категория ${\mathcal {C}}$ полна (кополна), то категория $\mathrm {Func} ({\mathcal {A}},{\mathcal {C}})$ полна (кополна) для любой категории ${\mathcal {A}}$, причём пределы вычисляются поточечно.
• Любая абелева категория конечно полна и конечно кополна.
• Предпорядок полон, если в нём существует наибольший элемент и любое множество элементов имеет точную верхнюю грань. Аналогично, он кополон, если имеет наименьший элемент и любое множество элементов имеет точную нижнюю грань.
• Категория метрических пространств Met конечно полна, но не является полной и не имеет даже конечных копроизведений.

Свойства

Существует теорема о том, что категория полна тогда и только тогда, когда в ней существуют все уравнители и малые произведения. Соответственно, категория кополна, если в ней есть все коуравнители и малые копроизведения.

Конечно полную категорию также можно охарактеризовать несколькими способами. А именно — следующие утверждения эквивалентны:

• C конечно полна,
• C имеет все уравнители и конечные произведения,
• C имеет все уравнители, бинарные произведения и терминальный объект,
• C имеет все декартовы квадраты и терминальный объект.

Двойственные утверждения также эквивалентны.

Малая категория полна в малом, только если она является предпорядком. То же верно и для кополной категории; более того, для малой категории полнота и кополнота в малом эквивалентны.

Если категория $C$ полна в малом, то для любой малой категории $A$ любой функтор $F\colon A\to C$ имеет правое расширение Кана $\mathrm {Ran} _{K}F$ по любому функтору $K\colon A\to B$, причём любое такое расширение Кана является поточечным. Утверждение явно следует из представления поточечного расширения Кана как предела.

Литература

• С. Маклейн Категории для работающего математика, — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с — ISBN 5-9221-0400-4.
• Р. Голдблатт Топосы. Категорный анализ логики, — М.: Мир, 1983. — 487 с.
• F. Borceux. Handbook of Categorical Algebra 1. Basic Category Theory. — Encyclopaedia of Mathematics and its Applications. — Cambridge: Cambridge University Press, 1994. — 345 p. — ISBN 0 521 44178 1.
• Adámek, Jiří; Horst Herrlich, and George E. Strecker. Abstract and Concrete Categories (неопр.). — John Wiley & Sons, 1990. — ISBN 0-471-60922-6.