Категория топологических пространств
Категория топологических пространств — категория, объекты которой — топологические пространства, а морфизмы — непрерывные отображения, основной объект изучения категорной топологии. Стандартное обозначение — . Является конкретной категорией, поэтому её объекты можно понимать как множества с дополнительной структурой.
Естественный забывающий функтор, сопоставляющий топологическому пространству его множество-носитель: . Этот функтор имеет как левый сопряжённый , снабжающий множество дискретной топологией, так и правый сопряжённый , снабжающий множество антидискретной топологией. Более того, поскольку любая функция между дискретными или антидискретными пространствами непрерывна, оба этих функтора задают полное вложение категории множеств в .
Является полной и кополной, то есть в ней существуют все малые пределы и копределы. Забывающий функтор: единственным образом поднимает пределы, а также сохраняет их. Поэтому для получения пределов (копределов) в достаточно снабдить нужной топологией пределы (копределы) в : если — диаграмма в и — предел диаграммы в , то соответствующий предел (копредел) в можно получить, снабдив начальной топологией (конечной топологией).
Мономорфизмы в — это непрерывные инъективные отображения; эпиморфизмы — непрерывные сюръективные отображения, а изоморфизмы — гомеоморфизмы. В нет нулевых морфизмов, в частности эта категория не предаддитивна.
Не является декартово замкнутой, потому что не для всех её объектов существуют экспоненциалы.
Литература
[править | править код]- Herrlich, Horst. Topologische Reflexionen und Coreflexionen (нем.). — 1968. — (Springer Lecture Notes in Mathematics, Vol. 78).
- Categorical topology 1971—1981 (H. Herrlich) // General Topology and its Relations to Modern Analysis and Algebra 5 (англ.). — Heldermann Verlag, 1983. — P. 279—383.
- Categorical Topology — its origins, as examplified by the unfolding of the theory of topological reflections and coreflections before 1971; Categorical topology 1971—1981 (H. Herrlich, G. E. Strecker) // Handbook of the History of General Topology / eds. C.E.Aull, R. Lowen. — Kluwer Acad. Publ., 1997. — Т. 1. — С. 255—341.
- Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E. Abstract and Concrete Categories. — John Wiley & Sons. — ISBN 0-471-60922-6.
- Маклейн С. Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.