Категория топологических пространств

Категория топологических пространств — категория, объекты которой — топологические пространства, а морфизмы — непрерывные отображения, основной объект изучения категорной топологии. Стандартное обозначение — $\mathbf {Top}$. Является конкретной категорией, поэтому её объекты можно понимать как множества с дополнительной структурой.

Естественный забывающий функтор, сопоставляющий топологическому пространству его множество-носитель: $U\colon \mathbf {Top} \to \mathbf {Set}$. Этот функтор имеет как левый сопряжённый $D\colon \mathbf {Set} \to \mathbf {Top}$, снабжающий множество дискретной топологией, так и правый сопряжённый $I\colon \mathbf {Set} \to \mathbf {Top}$, снабжающий множество антидискретной топологией. Более того, поскольку любая функция между дискретными или антидискретными пространствами непрерывна, оба этих функтора задают полное вложение категории множеств в $\mathbf {Top}$.

Является полной и кополной, то есть в ней существуют все малые пределы и копределы. Забывающий функтор: $U\colon \mathbf {Top} \to \mathbf {Set}$ единственным образом поднимает пределы, а также сохраняет их. Поэтому для получения пределов (копределов) в $\mathbf {Top}$ достаточно снабдить нужной топологией пределы (копределы) в $\mathbf {Set}$: если $F$ — диаграмма в $\mathbf {Top}$ и $(L,\varphi )$ — предел диаграммы $UF$ в $\mathbf {Set}$, то соответствующий предел (копредел) $F$ в $\mathbf {Top}$ можно получить, снабдив $(L,\varphi )$ начальной топологией (конечной топологией).

Мономорфизмы в $\mathbf {Top}$ — это непрерывные инъективные отображения; эпиморфизмы — непрерывные сюръективные отображения, а изоморфизмы — гомеоморфизмы. В $\mathbf {Top}$ нет нулевых морфизмов, в частности эта категория не предаддитивна.

Не является декартово замкнутой, потому что не для всех её объектов существуют экспоненциалы.

Литература

• Herrlich, Horst. Topologische Reflexionen und Coreflexionen (нем.). — 1968. — (Springer Lecture Notes in Mathematics, Vol. 78).
• Categorical topology 1971—1981 (H. Herrlich) // General Topology and its Relations to Modern Analysis and Algebra 5 (англ.). — Heldermann Verlag, 1983. — P. 279—383.
• Categorical Topology — its origins, as examplified by the unfolding of the theory of topological reflections and coreflections before 1971; Categorical topology 1971—1981 (H. Herrlich, G. E. Strecker) // Handbook of the History of General Topology / eds. C.E.Aull, R. Lowen. — Kluwer Acad. Publ., 1997. — Т. 1. — С. 255—341.
• Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E. Abstract and Concrete Categories. — John Wiley & Sons. — ISBN 0-471-60922-6.
• Маклейн С. Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.