Почти плоское многообразие

Почти плоское многообразие — гладкое компактное многообразие М такое, что для любого $\varepsilon >0$ на М существует риманова метрика $g_{\varepsilon }$, такая, что ${\mbox{diam}}(M,g_{\varepsilon })\leqslant 1$ и $g_{\varepsilon }$ является $\varepsilon$-плоской, то есть её секционные кривизны $K_{g_{\varepsilon }}$ в каждой точке удовлетворяют неравенству

$|K_{g_{\epsilon }}|<\varepsilon .$

Примеры

• Любое компактное многообразие, допускающее плоскую метрику, является почти плоским. В частности, почти плоскими многообразиями являются
  • $n$-мерный тор
  • Бутылка Клейна
• Примером не плоского, но почти плоского многообразия является пространство нетривиального расслоения со слоем окружность над тором. Это пространство можно получить как фактор группы Гейзенберга по её целочисленной подгруппе и его конечные накрытия.

Свойства

• Для любого n существует положительное число $\varepsilon _{n}>0$ такое, что если n-мерное многообразие допускает $\varepsilon _{n}$-плоские метрики с диаметром $\leqslant 1$, то онo почти плоскоe.
• Почти плоское многообразие как многообразие, коллапсирующее к точке с зажатой кривизной: М — почти плоское, если для любого $\varepsilon >0$ на М существует риманова метрика $g_{\varepsilon }$, такая, что диаметр многообразия меньше $\varepsilon$, и $g_{\varepsilon }$ имеет ограниченную секционную кривизну, скажем, в каждой точке удовлетворяют неравенству $|K_{g_{\epsilon }}|<1$.
• По теореме Громова — Руха, многообразие М является почти плоским тогда и только тогда, когда оно является инфранильмногообразием. В частности, оно является конечным фактором нильмногообразия. Последнее можно определить индуктивно как пространство главного расслоения со слоем окружность над нильмногообразием.

Литература

• Gromov, M. (1978), "Almost flat manifolds", Journal of Differential Geometry, 13 (2): 231—241, MR 0540942.
• Ruh, Ernst A. [in английский] (1982), "Almost flat manifolds", Journal of Differential Geometry, 17 (1): 1—14, MR 0658470.