Произведе́ние ме́р в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах — формальный способ построить меру на декартовом произведении двух пространств с мерами.
Пусть
— два пространства с мерами. Тогда
— декартово произведение множеств
и
.
является семейством подмножеств
. Оно, вообще говоря, не замкнуто относительно счётных объединений, и следовательно не является
-алгеброй. Введём обозначение
![{\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2}=\sigma ({\mathcal {F}}_{1}\times {\mathcal {F}}_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daab8ae4467614b382770f499fb35a1df63521e)
— минимальная
-алгебра, содержащая
. Тогда
— измеримое пространство. Определим на нём меру
следующим образом:
![{\displaystyle \mu _{1}\otimes \mu _{2}(A)=\mu _{1}(A_{1})\cdot \mu _{2}(A_{2}),\quad \forall A=A_{1}\times A_{2}\in {\mathcal {F}}_{1}\times {\mathcal {F}}_{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/690970deac75a7a7222606e851acb683d9a3887b)
Тогда
продолжается единственным образом с
на
:
![{\displaystyle \mu _{1}\otimes \mu _{2}(A)=\int \limits _{X_{2}}\mu _{1}(A_{x_{2}})\,\mu _{2}(dx_{2}),\quad A\in {\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3ed96c11ef34a59209a79e4f5379d47fae44395)
или
![{\displaystyle \mu _{1}\otimes \mu _{2}(A)=\int \limits _{X_{1}}\mu _{2}(A_{x_{1}})\,\mu _{1}(dx_{1}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6c4539c85be3d2d7fc8d1e0c093561836c4c875)
где
— сечение
вдоль
, а
— сечение
вдоль
.
Получившаяся мера
называется произведением мер
и
. Пространство с мерой
называется (прямым) произведением исходных пространств.
- Если
— два вероятностных пространства, то
называется их произведением.
- Если
— случайные величины, то
— распределения на
и
соответственно, а
— распределение на
случайного вектора
. Если
— независимы, то
![{\displaystyle \mathbb {P} ^{X,\;Y}=\mathbb {P} ^{X}\otimes \mathbb {P} ^{Y}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27749613eda0c301fe2c12311a40f6188f2ac518)
Мера Лебега
на
может быть получена как произведение
одномерных мер Лебега
на
:
![{\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})=\bigotimes \limits _{i=1}^{n}{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb4a3d0dd5db8838866082bfb51897739cea1637)
где
обозначает борелевскую
-алгебру на пространстве
, и
![{\displaystyle m_{n}=\bigotimes \limits _{i=1}^{n}m_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2c348f3fe2bc9f5d60b94f4e8ab8af94ecc299c)