Арифметическая прогрессия: различия между версиями
[непроверенная версия] | [отпатрулированная версия] |
м откат правок 195.158.8.43 (обс.) к версии Dalka Метка: откат |
|||
Строка 1: | Строка 1: | ||
{{Значения|Прогрессия}} |
{{Значения|Прогрессия}} |
||
'''Арифмети́ческая прогре́ссия (алгебраическая)''' — [[числовая последовательность]] вида |
|||
: <math>a_1,\ a_1+d,\ a_1+2d,\ \ldots,\ a_1+(n-1)d, \ \ldots</math>, |
|||
то есть последовательность чисел ('''членов''' прогрессии), в которой каждое число, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа <math>d</math> ('''шага''', или '''разности''' прогрессии): |
|||
: <math>a_n=a_{n-1} + d \quad </math> |
|||
Любой (''n''-й) член прогрессии может быть вычислен по формуле общего члена: |
|||
: <math>a_n=a_1 + (n-1)d</math> |
|||
Арифметическая прогрессия является [[монотонная последовательность|'''монотонной последовательностью''']]. При <math>d>0</math> она является возрастающей, а при <math>d<0</math> — убывающей. Если <math>d=0</math>, то последовательность будет стационарной. Эти утверждения следуют из соотношения <math>a_{n+1}-a_n=d</math> для членов арифметической прогрессии. |
|||
== Свойства == |
|||
=== Общий член арифметической прогрессии === |
=== Общий член арифметической прогрессии === |
||
Строка 119: | Строка 129: | ||
{| class="wikitable collapsible collapsed" width=100% |
{| class="wikitable collapsible collapsed" width=100% |
||
! |
|||
! Доказательство |
! Доказательство |
||
! |
|||
|- |
|- |
||
| |
|||
| Проверим характеристическое свойство для образованной геометрической прогрессии: |
| Проверим характеристическое свойство для образованной геометрической прогрессии: |
||
Строка 133: | Строка 140: | ||
Итак, поскольку характеристическое свойство выполняется, то <math>a^{a_1}, a^{a_2}, a^{a_3}, \ldots</math> — геометрическая прогрессия. Её знаменатель можно найти, например, из соотношения <math>q=\frac{a^{a_2}}{a^{a_1}}=\frac{a^{a_1+d}}{a^{a_1}}=a^d</math>. |
Итак, поскольку характеристическое свойство выполняется, то <math>a^{a_1}, a^{a_2}, a^{a_3}, \ldots</math> — геометрическая прогрессия. Её знаменатель можно найти, например, из соотношения <math>q=\frac{a^{a_2}}{a^{a_1}}=\frac{a^{a_1+d}}{a^{a_1}}=a^d</math>. |
||
| |
|||
|} |
|} |
||
Строка 166: | Строка 172: | ||
== См. также == |
== См. также == |
||
* [[Геометрическая прогрессия]] |
* [[Геометрическая прогрессия]] |
||
* Арифметико-геометрическая прогрессия |
* [[Арифметико-геометрическая прогрессия]] |
||
== Ссылки == |
== Ссылки == |
Версия от 06:43, 31 июля 2019
Арифмети́ческая прогре́ссия (алгебраическая) — числовая последовательность вида
- ,
то есть последовательность чисел (членов прогрессии), в которой каждое число, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа (шага, или разности прогрессии):
Любой (n-й) член прогрессии может быть вычислен по формуле общего члена:
Арифметическая прогрессия является монотонной последовательностью. При она является возрастающей, а при — убывающей. Если , то последовательность будет стационарной. Эти утверждения следуют из соотношения для членов арифметической прогрессии.
Свойства
Общий член арифметической прогрессии
Член арифметической прогрессии с номером может быть найден по формуле
- где — первый член прогрессии, — её разность.
Доказательство |
---|
Пользуясь соотношением выписываем последовательно несколько членов прогрессии:
Заметив закономерность, делаем предположение, что . С помощью математической индукции покажем, что предположение верно для всех : База индукции : — утверждение истинно. Переход индукции: Пусть наше утверждение верно при , то есть . Докажем истинность утверждения при :
Итак, утверждение верно и при . Это значит, что для всех . |
Характеристическое свойство арифметической прогрессии
Последовательность есть арифметическая прогрессия для любого её элемента выполняется условие .
Доказательство |
---|
Необходимость:
Поскольку — арифметическая прогрессия, то для выполняются соотношения:
. Сложив эти равенства и разделив обе части на 2, получим . Достаточность: Имеем, что для каждого элемента последовательности, начиная со второго, выполняется . Следует показать, что эта последовательность есть арифметическая прогрессия. Преобразуем эту формулу к виду . Поскольку соотношения верны при всех , с помощью математической индукции покажем, что . База индукции : — утверждение истинно. Переход индукции: Пусть наше утверждение верно при , то есть . Докажем истинность утверждения при :
Но по предположению индукции следует, что . Получаем, что Итак, утверждение верно и при . Это значит, что . Обозначим эти разности через . Итак, , а отсюда имеем для . Поскольку для членов последовательности выполняется соотношение , то это есть арифметическая прогрессия. |
Сумма первых членов арифметической прогрессии
Сумма первых членов арифметической прогрессии может быть найдена по формулам
- , где — первый член прогрессии, — член с номером , — количество суммируемых членов.
- — где — первый член прогрессии, — второй член прогрессии — член с номером .
- , где — первый член прогрессии, — разность прогрессии, — количество суммируемых членов.
Доказательство |
---|
Запишем сумму двумя способами:
— та же сумма, только слагаемые идут в обратном порядке. Теперь сложим оба равенства, последовательно складывая в правой части слагаемые, которые стоят на одной вертикали:
Покажем, что все слагаемые (все скобки) полученной суммы равны между собой. В общем виде каждое слагаемое можно подать в виде . Воспользуемся формулой общего члена арифметической прогрессии:
Получили, что каждое слагаемое не зависит от и равно . В частности, . Поскольку таких слагаемых , то
Третья формула для суммы получается подстановкой вместо . Что и так непосредственно следует из выражения для общего члена. Замечание: Вместо в первой формуле для суммы можно взять любое из других слагаемых , так как они все равны между собой. |
Сходимость арифметической прогрессии
Арифметическая прогрессия расходится при и сходится при . Причём
Доказательство |
---|
Записав выражение для общего члена и исследуя предел , получаем искомый результат. |
Связь между арифметической и геометрической прогрессиями
Пусть — арифметическая прогрессия с разностью и число . Тогда последовательность вида есть геометрическая прогрессия со знаменателем .
Доказательство |
---|
Проверим характеристическое свойство для образованной геометрической прогрессии:
Воспользуемся выражением для общего члена арифметической прогрессии: Итак, поскольку характеристическое свойство выполняется, то — геометрическая прогрессия. Её знаменатель можно найти, например, из соотношения . |
Арифметические прогрессии высших порядков
Арифметической прогрессией второго порядка называется такая последовательность чисел, что последовательность их разностей сама образует простую арифметическую прогрессию. Примером может служить последовательность квадратов натуральных чисел:
- 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36…,
разности которых образуют простую арифметическую прогрессию с разностью 2:
- 1, 3, 5, 7, 9, 11…
Аналогично определяются и прогрессии более высоких порядков. В частности, последовательность n-ных степеней образует арифметическую прогрессию n-го порядка.
Если — арифметическая прогрессия порядка , то существует многочлен , такой, что для всех выполняется равенство [1]
Примеры
- Натуральный ряд — это арифметическая прогрессия, в которой первый член , а разность .
- — первые 5 членов арифметической прогрессии, в которой и .
- Если все элементы некоторой последовательности равны между собой и равны некоторому числу , то это есть арифметическая прогрессия, в которой и . В частности, есть арифметическая прогрессия с разностью .
- Сумма первых натуральных чисел выражается формулой
Занимательная история
Согласно легенде, школьный учитель математики юного Гаусса, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д., и мгновенно получил результат: 5050. Действительно, легко видеть, что решение сводится к формуле
то есть к формуле суммы первых чисел натурального ряда.
См. также
Ссылки
- Арифметическая прогрессия // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890. — Т. II. — С. 98.
Примечания
- ↑ Бронштейн, 1986, с. 139.
Литература
- Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов. — М.: Наука, 1986. — 544 с.