Теорема о промежуточном значении: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [непроверенная версия] |
Tosha (обсуждение | вклад) Нет описания правки |
Нет описания правки |
||
Строка 3: | Строка 3: | ||
== Формулировка == |
== Формулировка == |
||
Пусть дана [[непрерывная функция]] на [[Отрезок|отрезке]] <math>f\in C\bigl([a,b]\bigr).</math> Пусть также <math>f(a) \neq f(b),</math> и без ограничения общности предположим, что <math>f(a) = A < B = f(b).</math> Тогда для любого <math>C \in [A,B]</math> существует <math>c\in [a,b]</math> такое, что <math>f(c)=C</math>. |
Пусть дана [[непрерывная функция]] на [[Отрезок|отрезке]] <math>f\in C\bigl([a,b]\bigr).</math> Пусть также <math>f(a) \neq f(b),</math> и без ограничения общности предположим, что <math>f(a) = A < B = f(b).</math> Тогда для любого <math>C \in [A,B]</math> существует <math>c\in [a,b]</math> такое, что <math>f(c)=C</math>.ыкиуам |
||
{{Hider| |
{{Hider| |
Версия от 11:59, 3 января 2020
Теорема о промежуточном значении (или Теоре́ма Больца́но — Коши́) утверждает, что если непрерывная функция, определённая на вещественном промежутке, принимает два значения, то она принимает и любое значение между ними.
Формулировка
Пусть дана непрерывная функция на отрезке Пусть также и без ограничения общности предположим, что Тогда для любого существует такое, что .ыкиуам
Рассмотрим функцию Она непрерывна на отрезке и , Покажем, что существует такая точка , что Разделим отрезок точкой на два равных по длине отрезка, тогда либо и нужная точка найдена, либо и тогда на концах одного из полученных промежутков функция принимает значения разных знаков (на левом конце меньше нуля, на правом больше).
Обозначив полученный отрезок , разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. Тогда, либо через конечное число шагов придем к искомой точке , либо получим последовательность вложенных отрезков по длине стремящихся к нулю и таких, что
Пусть - общая точка всех отрезков (согласно принципу Кантора, она существует и единственна) , Тогда и в силу непрерывности функции
Поскольку
получим, что
Следствия
- (Теорема о нуле непрерывной функции.) Если функция непрерывна на некотором отрезке и на концах этого отрезка принимает значения противоположных знаков, то существует точка, в которой она равна нулю. Формально: пусть и Тогда такое, что
- В частности любой многочлен нечётной степени имеет по меньшей мере один нуль.
Замечание
- Иногда (в учебных курсах) утверждение для нуля называется первой теоремой Больцано — Коши, а общее утверждение — второй теоремой соответственно[1]. На самом деле они эквивалентны.[2]
Обобщение
Теорема Больцано — Коши допускает обобщение на более общие топологические пространства. Всякая непрерывная функция , определенная на связном топологическом пространстве, принимающая какие-либо два значения, принимает и любое лежащее между ними. Формальная запись: пусть дано связное топологическое пространство и функция Пусть и Тогда
В такой формулировке теорема является частным случаем теоремы о том, что образ связного множества при непрерывном отображении связен.
История
Теорема была сформулирована независимо Больцано в 1817 и Коши в 1821.
См. также
Примечания
Литература
- Шилов Г.Е. Математический анализ (функции одного переменного). — М.: Наука, 1969. — 528 с.