Кольцо (геометрия)

Кольцо

Кольцо — термин в геометрии, используемый для описания похожих на кольцо объектов.

Открытое кольцо является топологическим эквивалентом цилиндра $S^{1}\times (0,1)$ и проколотой плоскости.

Площадь такого кольца определяется как разность площадей кругов радиусов R и r.

$A=\pi (R^{2}-r^{2})\,.$

Что интересно, площадь кольца также может быть вычислена путём умножения числа Пи на квадрат половины длины самого большого отрезка, лежащего внутри кольца. Это можно доказать через теорему Пифагора — такой отрезок будет являться касательной к кругу меньшего радиуса. Половина длины отрезка с радиусами r и R образуют прямоугольный треугольник.

Площадь также может быть вычислена путём разбиения кольца на бесконечно малые кольца шириной $d\rho$ и площадью $2\pi \rho \,d\rho$ (= окружность × ширину), а затем интегрирования от $\rho =r$ до $\rho =R$:

$A=\int _{r}^{R}2\pi \rho \,d\rho =\pi (R^{2}-r^{2}).$

Комплексная структура

В ТФКП кольцо ann(a; r, R) на комплексной плоскости является открытым множеством и определяется следующим образом:

$r<|z-a|<R.\,$

Если r равно 0, область называется проколотым диском радиуса R вокруг точки a.

Как подмножество комплексной плоскости кольцо может рассматриваться в качестве Римановой поверхности. Комплексная структура кольца зависит только от отношения r/R. Каждое кольцо ann(a; r, R) может быть голоморфно отображено в расположенное в начале координат стандартное кольцо с внешним радиусом 1 с помощью отображения:

$z\mapsto {\frac {z-a}{R}}.$

Внутренний радиус тогда будет r/R < 1. Теорема Адамара о трёх кругах устанавливает максимальное значение, принимаемое голоморфной функцией внутри кольца.

См. также

• Цилиндр
• Тор (поверхность)

Ссылки

• Площадь кольца, формула, интерактивная анимация  (англ.)