Касательная прямая

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
График функции (чёрная кривая) и касательная прямая (красная прямая)

Каса́тельная пряма́я — прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка.

Строгое определение[править | править исходный текст]

Замечание[править | править исходный текст]

Прямо из определения следует, что график касательной прямой проходит через точку (x_0,f(x_0)). Угол \alpha между касательной к кривой и осью Ох удовлетворяет уравнению

\operatorname{tg}\,\alpha = f'(x_0)= k,

где \operatorname{tg} обозначает тангенс, а \operatorname {k}  — коэффициент наклона касательной. Производная в точке x_0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке.

Касательная как предельное положение секущей[править | править исходный текст]

Derivative-SVG.svg

Пусть f\colon U(x_0) \to \R и x_1 \in U(x_0). Тогда прямая линия, проходящая через точки (x_0,f(x_0)) и (x_1,f(x_1)) задаётся уравнением

y = f(x_0) + \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}(x-x_0).

Эта прямая проходит через точку (x_0,f(x_0)) для любого x_1\in U(x_0), и её угол наклона \alpha(x_1) удовлетворяет уравнению

\operatorname{tg}\,\alpha(x_1) = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}.

В силу существования производной функции f в точке x_0, переходя к пределу при x_1 \to x_0, получаем, что существует предел

\lim\limits_{x_1 \to x_0} \operatorname{tg}\,\alpha(x_1) = f'(x_0),

а в силу непрерывности арктангенса и предельный угол

\alpha = \operatorname{arctg}\,f'(x_0).

Прямая, проходящая через точку (x_0,f(x_0)) и имеющая предельный угол наклона, удовлетворяющий \operatorname{tg}\,\alpha = f'(x_0), задаётся уравнением касательной:

y = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0).

Касательная к окружности[править | править исходный текст]

Отрезки касательных

Прямая, имеющая одну общую точку с окружностью и лежащая с ней в одной плоскости, называется касательной к окружности.

Свойства[править | править исходный текст]

  1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.
  2. Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
  3. Длина отрезка касательной, проведённой к окружности единичного радиуса, взятого между точкой касания и точкой пересечения касательной с радиусом, является тангенсом угла между этим радиусом и направлением от центра окружности на точку касания. «Тангенс» от лат. tangens — «касательная».

Вариации и обобщения[править | править исходный текст]

Односторонние полукасательные[править | править исходный текст]

y = f(x_0) + f'_+(x_0)(x - x_0),\quad x \geqslant x_0.
y = f(x_0) + f'_-(x_0)(x - x_0),\quad x \leqslant x_0.
  • Если существует бесконечная правая производная f'_+(x_0) = +\infty\; (-\infty), то правой полукасательной к графику функции f в точке x_0 называется луч
x = x_0, \; y \geqslant f(x_0)\; (y \leqslant f(x_0)).
  • Если существует бесконечная левая производная f'_-(x_0) = +\infty\; (-\infty), то правой полукасательной к графику функции f в точке x_0 называется луч
x = x_0, \; y \leqslant f(x_0)\; (y \geqslant f(x_0)).

См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]