Теорема Эйлера о четырёхугольниках

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=e^{2}+f^{2}+4g^{2}$

Теорема Эйлера о четырёхугольниках (также закон Эйлера для четырёхугольников) — теорема планиметрии, названная в честь Леонарда Эйлера (1707—1783 г.), описывает связь между сторонами выпуклого четырёхугольника и его диагоналями. Теорема является обобщением тождества параллелограмма, которое, в свою очередь, можно рассматривать как обобщение теоремы Пифагора и такая формулировка в терминах четырёхугольников порой называется теоремой Эйлера — Пифагора.

Теорема и специальные случаи

Для выпуклого четырёхугольника со сторонами $a,b,c,d$ диагонали $e$ и $f$, вместе с отрезком $g$, соединяющим середины диагоналей, выполняется равенство:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=e^{2}+f^{2}+4g^{2}$

Если четырёхугольник является параллелограммом, то средние точки диагоналей совпадают, так что соединяющий их отрезок $g$ имеет длину 0. Кроме того, длины параллельных сторон равны, так что теорема Эйлера сводится к:

$2a^{2}+2b^{2}=e^{2}+f^{2}$

что является тождеством параллелограмма.

Если четырёхугольник является прямоугольником, то равенство упрощается, поскольку теперь две диагонали равны:

$2a^{2}+2b^{2}=2e^{2}$

Деление на 2 даёт теорему Эйлера — Пифагора:

$a^{2}+b^{2}=e^{2}$

Другими словами, в случае прямоугольника, отношение сторон четырёхугольника и его диагоналей описывается теоремой Пифагора.

Альтернативные формулировки и расширения

Теорема Эйлера для параллелограмма

Эйлер вывел теорему выше как следствие слегка другой теоремы, которая, с одной стороны, менее элегантна, так как требует добавления ещё одной точки, но, с другой стороны, даёт большее понимание структуры.

Для заданного выпуклого четырёхугольника $ABCD$, Эйлер ввёл дополнительную точку $E$, такую, что $ABED$ образует параллелограмм, тогда выполняется следующее равенство:

$|AB|^{2}+|BC|^{2}+|CD|^{2}+|AD|^{2}=|AC|^{2}+|BD|^{2}+|CE|^{2}$

Расстояние $|CE|$ между двумя дополнительными точками $E$ и $C$ четырёхугольника, которые не являются частью параллелограмма, можно рассматривать как меру того, насколько четырёхугольник отличается от параллелограмма, и как меру правильности члена $|CE|^{2}$, который нужно добавить в исходное равенство тождества параллелограмма.

$M$, будучи серединой $AC$, приводит к ${\tfrac {|AC|}{|AM|}}=2$. Поскольку $N$ является серединой отрезка $BD$, она будет также серединой $AE$, так как $AE$ и $BD$ являются диагоналями параллелограмма $ABED$. Отсюда получаем ${\tfrac {|AE|}{|AN|}}=2$, а следовательно, ${\tfrac {|AC|}{|AM|}}={\tfrac {|AE|}{|AN|}}$. Поэтому, из теоремы Фалеса (и её обратной) следует, что $CE$ и $NM$ параллельны и $|CE|^{2}=(2|NM|)^{2}=4|NM|^{2}$, откуда следует теорема Эйлера.

Теорему Эйлера можно расширить на большее множество четырёхугольников, которые включают пересекающиеся и непланарные. Она выполняется для так называемых обобщённых четырёхугольников, которые состоят из четырёх произвольных точек в $\mathbb {R} ^{n}$, связанных рёбрами с образованием графа-цикла.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Quadrilateral (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.