Выпуклый многоугольник

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Пентаграмма вписанная в правильный выпуклый пятиугольник: все диагонали лежат внутри

Выпуклым многоугольником называется многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Определения[править | править вики-текст]

Существует множество эквивалентных определений:

  • многоугольник является выпуклым, если часть плоскости, им ограниченная (плоский многоугольник) является выпуклым множеством;
  • многоугольник будет выпуклым, если для любых двух точек внутри него соединяющий их отрезок полностью лежит в нём;
  • многоугольник, для которого продолжения сторон не пересекают других его сторон;
  • многоугольник без самопересечений, каждый внутренний угол которого не более 180°;
  • многоугольник, все диагонали которого полностью лежат внутри него;
  • выпуклая оболочка конечного числа точек на плоскости;
  • ограниченное множество, являющееся пересечением конечного числа замкнутых полуплоскостей.

Примеры[править | править вики-текст]

Площадь выпуклого многоугольника[править | править вики-текст]

  • Пусть \{(X_i,Y_i)\}, i=1,2,...,n последовательность координат соседних друг другу вершин n-угольника без самопересечений. Тогда его площадь вычисляется по формуле:
 S = \frac{1}{2}|\sum\limits_{i=1}^n (X_i+X_{i+1})(Y_i-Y_{i+1})|, где (X_{n+1},Y_{n+1})=(X_1,Y_1).

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]