|
|
Строка 47: |
Строка 47: |
|
:<math>\ c= x_1x_2x_3x_4 =W^4+( V^2+K^2)W^2+K^2V^2= W^4+2W^4+aV^2+2W^2V^2- V^4+aW^2</math> |
|
:<math>\ c= x_1x_2x_3x_4 =W^4+( V^2+K^2)W^2+K^2V^2= W^4+2W^4+aV^2+2W^2V^2- V^4+aW^2</math> |
|
или |
|
или |
|
:<math>\ V^4-(a+ 2W^2) V2 +c-3W^4 - aW^2=0</math> |
|
:<math>\ V^4-(a+ 2W^2) V^2 +c-3W^4 - aW^2=0</math> |
|
Итого |
|
Итого |
|
:<math>\ V^2=1/2(( a+ 2W^2)\pm \sqrt{a^2-4c+ 6aW^2+16W^4})</math> |
|
:<math>\ V^2=1/2(( a+ 2W^2)\pm \sqrt{a^2-4c+ 6aW^2+16W^4})</math> |
Метод Феррари — аналитический метод решения алгебраического уравнения четвёртой степени.
Описание метода
Если — произвольный корень кубического уравнения
|
((2))
|
(резольвенты основного уравнения), то четыре корня исходного уравнения находятся как корни двух квадратных уравнений
где подкоренное выражение в правой части является полным квадратом. Отметим, что дискриминанты исходного уравнения (*) четвёртой степени и уравнения (2) совпадают.
Представим уравнение четвёртой степени в виде:
Его решение может быть найдено из следующих выражений:
-
- если , решив и, сделав подстановку , найдём корни:
- .
- , (любой знак квадратного корня подойдёт)
- , (три комплексных корня, один из которых подойдёт)
-
- Два ±s должны иметь одинаковый знак, ±t — независимы. Для того, чтобы найти все корни, надо найти x для знаковых комбинаций ±s,±t = +,+ для +,− для −,+ для −,−. Двойные корни появятся два раза, тройные корни — три раза и корни четвёртого порядка — четыре раза. Порядок корней зависит от того, какой из кубических корней U выбран.
Вывод
Пусть имеется уравнение вида:
Обозначим корни уравнения как .
В канонической форме будет выполнятся соотношение
Учитывая мнимость по меньшей мере двух корней можно сделать представить корни как:
Причём W,V –действительные числа.
Выразим a через корни уравнения
Выразим К через остальные коэффициенты:
или
Итого
Или
Отсюда
Заменяя получаем резольвенту, решив которую , находим W
История
С 15 лет Луиджи Феррари был учеником у миланского математика Джероламо Кардано и быстро обнаружил выдающиеся способности. К этому времени Кардано уже был известен алгоритм решения кубических уравнений; Феррари сумел найти аналогичный способ для решения уравнений четвёртой степени. Оба алгоритма Кардано опубликовал в своей книге "Высокое искусство".
См. также
Ссылки
Шаблон:Нет интервики