Резольвента алгебраического уравнения

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Резольвента алгебраического уравнения \,\! f(x) = 0 степени n — это алгебраическое уравнение \,\! g(y) = 0 с коэффициентами, рационально зависящими от коэффициентов f(x), такое, что знание корней этого уравнения позволяет решить исходное уравнение путём решения более простых уравнений (то есть таких, что их степень не больше n).

Также резольвентой называют само рациональное выражение \,\! y = y(x_1, x_2, ..., x_n), то есть зависимость коэффициентов резольвенты как уравнения (g(y) = 0) от коэффициентов исходного уравнения.

Пример[править | править вики-текст]

Рассмотрим уравнение 4-й степени:

\,\! x^4 + px^2 + qx + r = 0

Для решения этого уравнения используется кубическая резольвента

\,\! y^3 - 2py^2 + (p^2 - 4r)y + q^2 = 0

Корни резольвенты \,\! y_1, y_2, y_3 связаны с корнями исходного уравнения \,\! x_1, x_2, x_3, x_4 (которые нам и нужно найти) следующими соотношениями:

\,\! y_1 = (x_1 + x_2)(x_3 + x_4)
\,\! y_2 = (x_1 + x_3)(x_2 + x_4)
\,\! y_3 = (x_1 + x_4)(x_2 + x_3)

Корни резольвенты могут быть решены по формуле Кардано. Три формулы соотношений между \,\! y_i и \,\! x_i вместе с исходным уравнением дают систему из 4-х алгебраических уравнений с 4-мя неизвестными, которая легко решается.