|
|
Строка 7: |
Строка 7: |
|
{{Формула|<math>y^3-b y^2+(ac-4d)y-a^2 d+4 b d-c^2=0 \,</math>|(2)}} |
|
{{Формула|<math>y^3-b y^2+(ac-4d)y-a^2 d+4 b d-c^2=0 \,</math>|(2)}} |
|
([[Резольвента алгебраического уравнения|резольвенты]] основного уравнения), то четыре корня исходного уравнения находятся как корни двух квадратных уравнений |
|
([[Резольвента алгебраического уравнения|резольвенты]] основного уравнения), то четыре корня исходного уравнения находятся как корни двух квадратных уравнений |
|
: <math>x^2+\frac{a}{2}x+\frac{y_1}{2}=\pm\sqrt{\left(\frac{a^2}{4}-b+y_1\right)x^2+\left(\frac{a}{2}y_1-c\right)x+\frac{y^2_1}{4}-d}</math> |
|
: <math>x^2+\frac{a}{2}x+\frac{y_1}{2}=\pm\sqrt{\left(\frac{a^2}{4}-b+y_1\right)x^2+\left(\frac{a}{2}y_1-c\right)x+\frac{y^2_1}{4}-d},</math> |
|
где подкоренное выражение в правой части является полным квадратом. Отметим, что [[дискриминант]]ы исходного уравнения (1) четвёртой степени и уравнения (2) совпадают. |
|
где подкоренное выражение в правой части является полным квадратом. Отметим, что [[дискриминант]]ы исходного уравнения (1) четвёртой степени и уравнения (2) совпадают. |
|
|
|
|
Метод Феррари — аналитический метод решения алгебраического уравнения четвёртой степени.
Описание метода
Пусть уравнение 4-й степени имеет вид
.
|
((1))
|
Если — произвольный корень кубического уравнения
|
((2))
|
(резольвенты основного уравнения), то четыре корня исходного уравнения находятся как корни двух квадратных уравнений
где подкоренное выражение в правой части является полным квадратом. Отметим, что дискриминанты исходного уравнения (1) четвёртой степени и уравнения (2) совпадают.
Представим уравнение четвёртой степени в виде:
Его решение может быть найдено из следующих выражений:
-
- если , решив и, сделав подстановку , найдём корни:
- .
- , (любой знак квадратного корня подойдёт)
- , (три комплексных корня, один из которых подойдёт)
-
- Два ±s должны иметь одинаковый знак, ±t — независимы. Для того, чтобы найти все корни, надо найти x для знаковых комбинаций ±s,±t = +,+ для +,− для −,+ для −,−. Двойные корни появятся два раза, тройные корни — три раза и корни четвёртого порядка — четыре раза. Порядок корней зависит от того, какой из кубических корней U выбран.
Вывод
Пусть имеется уравнение вида:
Обозначим корни уравнения как .
В канонической форме будет выполнятся соотношение
Учитывая мнимость по меньшей мере двух корней можно сделать представить корни как:
Причём W,V –действительные числа.
Выразим a через корни уравнения
Выразим К через остальные коэффициенты:
или
Итого
Или
Отсюда
Заменяя получаем резольвенту, решив которую , находим W
История
С 15 лет Луиджи Феррари был учеником у миланского математика Джероламо Кардано и быстро обнаружил выдающиеся способности. К этому времени Кардано уже был известен алгоритм решения кубических уравнений; Феррари сумел найти аналогичный способ для решения уравнений четвёртой степени. Оба алгоритма Кардано опубликовал в своей книге "Высокое искусство".
См. также
Ссылки
Шаблон:Нет интервики