Теорема о промежуточном значении: различия между версиями
[непроверенная версия] | [отпатрулированная версия] |
→Обобщение: описание словами и описание словами и формулами имеют одинаковую точность |
промежуток - и отрезок и интервал, стилистически лучше |
||
Строка 12: | Строка 12: | ||
content = |
content = |
||
Рассмотрим функцию <math>\,g(x)=f(x)-C.</math> Она непрерывна на отрезке <math>\,[a,b]</math> и <math>\,g(a)<0</math>, <math>\,g(b)>0.</math> Покажем, что существует такая точка <math>\,c\in [a,b]</math>, что <math>\,g(c)=0.</math> Разделим отрезок <math>\,[a,b]</math> точкой <math>\,x_0</math> на два равных по длине отрезка, тогда либо <math>\,g(x_0)=0</math> и нужная точка <math>\,c=x_0</math> найдена, либо <math>g(x_0)\neq 0</math> и тогда на концах одного из полученных |
Рассмотрим функцию <math>\,g(x)=f(x)-C.</math> Она непрерывна на отрезке <math>\,[a,b]</math> и <math>\,g(a)<0</math>, <math>\,g(b)>0.</math> Покажем, что существует такая точка <math>\,c\in [a,b]</math>, что <math>\,g(c)=0.</math> Разделим отрезок <math>\,[a,b]</math> точкой <math>\,x_0</math> на два равных по длине отрезка, тогда либо <math>\,g(x_0)=0</math> и нужная точка <math>\,c=x_0</math> найдена, либо <math>g(x_0)\neq 0</math> и тогда на концах одного из полученных промежутков функция <math>\,g(x)</math> принимает значения разных знаков (на левом конце меньше нуля, на правом больше). |
||
Обозначив полученный отрезок <math>\,[a_1,b_1]</math>, разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. Тогда, либо через конечное число шагов придем к искомой точке <math>\,c</math>, либо получим последовательность [[Отрезок#Стягивающаяся система сегментов|вложенных отрезков]] <math>\,[a_n,b_n]</math> по длине стремящихся к нулю и таких, что |
Обозначив полученный отрезок <math>\,[a_1,b_1]</math>, разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. Тогда, либо через конечное число шагов придем к искомой точке <math>\,c</math>, либо получим последовательность [[Отрезок#Стягивающаяся система сегментов|вложенных отрезков]] <math>\,[a_n,b_n]</math> по длине стремящихся к нулю и таких, что |
||
Строка 31: | Строка 31: | ||
== Следствия == |
== Следствия == |
||
⚫ | * (Теорема о нуле непрерывной функции.) Если функция на концах отрезка принимает значения противоположных знаков, то существует точка, в которой она равна [[0 (число)|нулю]]. Формально: пусть <math>f\in C\bigl([a,b]\bigr),</math> и <math>sign(f(a))\ne sign(f(b)).</math> Тогда <math>\exists c \in (a,b)</math> такое, что <math>f(c) = 0.</math> |
||
* (Теорема о нуле непрерывной функции.)<br> |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
Словами и формулами. Пусть <math>f\in C\bigl([a,b]\bigr),</math> и <math>sign(f(a))\ne sign(f(b)).</math> Тогда <math>\exists c \in (a,b)</math> такое, что <math>f(c) = 0.</math> |
|||
⚫ | |||
== Замечание == |
== Замечание == |
||
Строка 40: | Строка 38: | ||
== Обобщение == |
== Обобщение == |
||
Теорема Больцано — Коши допускает обобщение на более общие [[топологическое пространство|топологические пространства]]. Всякая непрерывная функция <math>f\colon X\to\R</math>, определенная на [[Связное пространство|связном]] топологическом пространстве, принимающая какие-либо два значения, принимает и любое лежащее между ними. |
Теорема Больцано — Коши допускает обобщение на более общие [[топологическое пространство|топологические пространства]]. Всякая непрерывная функция <math>f\colon X\to\R</math>, определенная на [[Связное пространство|связном]] топологическом пространстве, принимающая какие-либо два значения, принимает и любое лежащее между ними. Формальная запись: пусть дано связное топологическое пространство <math>(X,\mathcal{T}),</math> и функция <math>f\in C(X).</math> Пусть <math>x_1,x_2\in X,\; f(x_1) = y_1,\; f(x_2) = y_2,</math> и <math>y_1 < y_2.</math> Тогда |
||
: <math>\forall y \in [y_1,y_2]\; \exists x\in X\; f(x) = y.</math> |
: <math>\forall y \in [y_1,y_2]\; \exists x\in X\; f(x) = y.</math> |
||
В такой формулировке теорема является частным случаем теоремы о том, что образ связного множества при непрерывном отображении связен. |
В такой формулировке теорема является частным случаем теоремы о том, что образ связного множества при непрерывном отображении связен. |
Версия от 06:46, 30 мая 2012
Теоре́ма Больца́но — Коши́ о промежуточных значениях непрерывной функции в математическом анализе и общей топологии — это утверждение о том, что если непрерывная функция принимает два значения, то она принимает и любое значение между ними.
Формулировка
Пусть дана непрерывная функция на отрезке Пусть также и без ограничения общности предположим, что Тогда для любого существует такое, что .
Рассмотрим функцию Она непрерывна на отрезке и , Покажем, что существует такая точка , что Разделим отрезок точкой на два равных по длине отрезка, тогда либо и нужная точка найдена, либо и тогда на концах одного из полученных промежутков функция принимает значения разных знаков (на левом конце меньше нуля, на правом больше).
Обозначив полученный отрезок , разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. Тогда, либо через конечное число шагов придем к искомой точке , либо получим последовательность вложенных отрезков по длине стремящихся к нулю и таких, что
Пусть - общая точка всех отрезков , Тогда и в силу непрерывности функции
Поскольку
получим, что
Следствия
- (Теорема о нуле непрерывной функции.) Если функция на концах отрезка принимает значения противоположных знаков, то существует точка, в которой она равна нулю. Формально: пусть и Тогда такое, что
- В частности любой многочлен нечётной степени имеет по меньшей мере один нуль.
Замечание
- Иногда (в учебных курсах) утверждение для нуля называется первой теоремой Больцано — Коши, а общее утверждение — второй теоремой соответственно[1]. На самом деле они эквивалентны.
Обобщение
Теорема Больцано — Коши допускает обобщение на более общие топологические пространства. Всякая непрерывная функция , определенная на связном топологическом пространстве, принимающая какие-либо два значения, принимает и любое лежащее между ними. Формальная запись: пусть дано связное топологическое пространство и функция Пусть и Тогда
В такой формулировке теорема является частным случаем теоремы о том, что образ связного множества при непрерывном отображении связен.
История
Теорема Больцано — Коши была сформулирована независимо Больцано в 1817 и Коши в 1821.