|
|
Строка 32: |
Строка 32: |
|
:<math>\ x^4+ax^2+bx+c =0 </math> |
|
:<math>\ x^4+ax^2+bx+c =0 </math> |
|
Обозначим корни уравнения как <math>x_1, x_2, x_3, x_4 </math>. |
|
Обозначим корни уравнения как <math>x_1, x_2, x_3, x_4 </math>. |
|
В канонической форме будет выполнятся соотношение |
|
В канонической форме будет выполняться соотношение |
|
:<math>\ x_1+ x_2+ x_3+ x_4=0:</math> |
|
:<math>\ x_1+ x_2+ x_3+ x_4=0:</math> |
|
Учитывая мнимость по меньшей мере двух корней можно представить корни как: |
|
Учитывая мнимость по меньшей мере двух корней можно представить корни как: |
Метод Феррари — аналитический метод решения алгебраического уравнения четвёртой степени.
Описание метода
Пусть уравнение 4-й степени имеет вид
.
|
(1)
|
Если — произвольный корень кубического уравнения
|
(2)
|
(резольвенты основного уравнения), то четыре корня исходного уравнения находятся как корни двух квадратных уравнений
где подкоренное выражение в правой части является полным квадратом. Отметим, что дискриминанты исходного уравнения (1) четвёртой степени и уравнения (2) совпадают.
Представим уравнение четвёртой степени в виде:
Его решение может быть найдено из следующих выражений:
-
- если , тогда, решив и, сделав подстановку , найдём корни:
- .
- , (любой знак квадратного корня подойдёт)
- , (три комплексных корня, один из которых подойдёт)
-
- Два ±s должны иметь одинаковый знак, ±t — независимы. Для того, чтобы найти все корни, надо найти x для знаковых комбинаций ±s,±t = +,+ для +,− для −,+ для −,−. Двойные корни появятся два раза, тройные корни — три раза и корни четвёртого порядка — четыре раза. Порядок корней зависит от того, какой из кубических корней U выбран.
Вывод
Пусть имеется уравнение вида:
Обозначим корни уравнения как .
В канонической форме будет выполняться соотношение
Учитывая мнимость по меньшей мере двух корней можно представить корни как:
Причём W,V –действительные числа.
Выразим a через корни уравнения
Выразим К через остальные коэффициенты:
или
Итого
Или
Отсюда
Заменяя получаем резольвенту, решив которую , находим W
История
С 15 лет Луиджи Феррари был учеником у миланского математика Джероламо Кардано и быстро обнаружил выдающиеся способности. К этому времени Кардано уже был известен алгоритм решения кубических уравнений; Феррари сумел найти аналогичный способ для решения уравнений четвёртой степени. Оба алгоритма Кардано опубликовал в своей книге "Высокое искусство".
См. также
Ссылки